Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

16.4: Рівномірна збіжність послідовностей функцій

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    34066

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Рівномірна збіжність послідовностей функцій

    Для цього обговорення ми розглянемо лише функції з\(g_n\) де

    \[\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \nonumber \]

    Визначення: Рівномірна конвергенція

    Послідовність (Розділ 16.2) рівномірно\(\left.\left\{g_{n}\right\}\right|_{n=1} ^{\infty}\) сходиться до функції,\(g\) якщо для кожного\(\varepsilon > 0\) існує ціле число\(N\) таке, що\(n \geq N\) означає

    \[\left|g_{n}(t)-g(t)\right| \leq \epsilon \label{16.11} \]

    для всіх\(t \in \mathbb{R}\).

    Очевидно, що кожна рівномірно збіжна послідовність точково (Розділ 16.3) збігається. Різниця між точковою та рівномірною збіжністю така: Якщо\(\left\{g_{n}\right\}\) сходиться точково до\(g\), то для кожного\(\varepsilon> 0\)\(t \in \mathbb{R}\) існує ціле число\(N\) залежно від\(\varepsilon\) і\(t\) таке, що Equation\ ref {16.11} містить if\(n≥N\). Якщо\(\left\{g_{n}\right\}\) сходиться рівномірно до\(g\), можна для кожного\(\varepsilon>0\) знайти одне ціле число\(N\), яке буде робити для всіх\(t \in \mathbb{R}\).

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    \[g_{n}(t)=\frac{1}{n}, t \in \mathbb{R} \nonumber \]

    Нехай\(\varepsilon > 0\) дадуть. Потім вибираємо\(N=\left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil\). Очевидно,

    \[\left|g_{n}(t)-0\right| \leq \epsilon, \quad n \geq N \nonumber \]

    для всіх\(t\). Таким чином,\(g_n(t)\) сходиться рівномірно до\(0\).

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    \[g_{n}(t)=\frac{t}{n}, t \in \mathbb{R} \nonumber \]

    Очевидно, що для будь-якого\(\varepsilon > 0\) ми не можемо знайти одну функцію,\(g_n(t)\) для якої Equation\ ref {16.11} тримає\(g(t)=0\) для всіх\(t\). Таким\(g_n\) чином, не рівномірно сходиться. Однак у нас є:

    \[g_{n}(t) \rightarrow g(t) \text{ pointwise }\nonumber \]

    Висновок

    Рівномірна збіжність завжди має на увазі точкову збіжність, але точкова збіжність не гарантує рівномірної збіжності.