16.3: Збіжність послідовностей векторів

Конвергенція векторів

Зараз ми обговоримо точкову та норму збіжності векторів. Існують і інші типи збіжності, і один, зокрема, рівномірна збіжність (Розділ 16.4), також може бути вивчений. Для цього обговорення ми будемо вважати, що вектори належать до нормованого векторного простору (Розділ 15.3).

Точкова конвергенція

Послідовність (Розділ 16.2)\(\left.\left\{g_{n}\right\}\right|_{n=1} ^{\infty}\) сходиться точково до межі,\(\boldsymbol{g}\) якщо кожен елемент\(g_n\) сходиться до відповідного елемента в\(\boldsymbol{g}\). Нижче наведено кілька прикладів, які допоможуть проілюструвати цю ідею.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

\ [g_ {n} =\ лівий (\ begin {масив} {l}
g_ {n} [1]\
g_ {n} [2]
\ кінець {масив}\ справа) =\ лівий (\ початок {масив} {c}
1+\ frac {1} {n}\
2-\ frac {1} {n}
\ кінець {масив}\ праворуч)\ nonumber\]

Спочатку ми знаходимо наступні межі для наших двох\(g_n\):

\ [\ begin {масив} {l}
\ ім'я оператора {limit} _ {n\ rightarrow\ infty} g_ {n} [1] =1\
\ ім'я оператора {limit} _ {n\ стрілка вправо\ infty} g_ {n} [2] =2
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Тому ми маємо наступне,

\[\operatorname{limit}_{n \rightarrow \infty} g_{n}=\boldsymbol{g} \nonumber \]

точково, де\ (\ напівжирний символ {g} =\ left (\ begin {масив} {l}
1\\
2
\ end {масив}\ право)\).

Приклад\(\PageIndex{2}\)

\[g_{n}(t)=\frac{t}{n}, t \in \mathbb{R} \nonumber \]

Як було зроблено вище, ми спочатку хочемо вивчити ліміт

\[\operatorname{limit}_{n \rightarrow \infty} g_{n}\left(t_{0}\right)=\operatorname{limit}_{n \rightarrow \infty} \frac{t_{0}}{n}=0 \nonumber \]

де\(t_{0} \in \mathbb{R}\). При цьому\(\operatorname{limit}_{n \rightarrow \infty} g_{n}=g\) точково куди\(g(t)=0\) для всіх\(t \in \mathbb{R}\).

Норма конвергенції

Послідовність (Розділ 16.2)\(\left.\left\{g_{n}\right\}\right|_{n=1} ^{\infty}\) сходиться до\(\boldsymbol{g}\) в нормі if\(\operatorname{limit}_{n \rightarrow \infty}\left\|g_{n}-g\right\|=0\). \(\|\cdot\|\)\(Section 15.3) of the corresponding vector space of \(g_n\)Ось норма. інтуїтивно це означає відстань між векторами\(g_n\) і\(\boldsymbol{g}\) зменшується до\(0\).

Приклад\(\PageIndex{3}\)

\ [g_ {n} =\ left (\ begin {масив} {c}
1+\ frac {1} {n}\
2-\ frac {1} {n}
\ кінець {масив}\ праворуч)\ nonumber\]

Нехай\ (\ напівжирний символ {g} =\ лівий (\ begin {масив} {l}
1\\
2
\ end {масив}\ праворуч)\)

\ [\ почати {вирівняний}
\ лівий\ |g_ {n} -\ напівжирний символ {g}\ праворуч\ | &=\ sqrt {\ лівий (1+\ frac {1} {n} -1\ праворуч) ^ {2}\ sqrt {\ frac {1} {n}\ правий) ^ {2}}\
&=\ sqrt {\ frac {1} {n^ {2}} +\ розриву {1} {n^ {2}}}\\
&=\ frac {\ sqrt {2}} {n}
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

Таким чином\(\operatorname{limit}_{n \rightarrow \infty}\left\|g_{n}-\boldsymbol{g}\right\|=0\). Тому\(g_{n} \rightarrow \boldsymbol{g}\) в нормі.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

\ [g_ {n} (t) =\ left\ {\ begin {масив} {ll}
\ frac {t} {n} &\ text {if} 0\ leq t\ leq 1\\
0 &\ text {інакше}
\ end {масив}\ право. \ номер\]

Нехай\(g(t)=0\) для всіх\(t\).

\ [\ почати {вирівняний}
\ лівий\ |g_ {n} (t) -g (t)\ праворуч\ | &=\ int_ {0} ^ {1}\ frac {t^ {2}} {n^ {2}}\ mathrm {d} t\\
&=\ ліворуч. \ frac {t^ {3}} {3 n^ {2}}\ праворуч |_ {n = 0} ^ {1}\\
&=\ гідророзриву {1} {3 n^ {2}}
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

\(\operatorname{limit}_{n \rightarrow \infty}\left\|g_{n}(t)-g(t)\right\|=0\)Таким чином,\(g_{n}(t) \rightarrow g(t)\) в нормі.

Точкова конвергенція проти норми

Теорема\(\PageIndex{1}\)

Бо\(\mathbb{R}^m\), точкова і норма збіжності рівнозначні.

Доказ: Точково ⇒ Норма

\[g_{n}[i] \rightarrow g[i] \nonumber \]

Якщо припустити вищевикладене, то

\[\left(\left\|g_{n}-\boldsymbol{g}\right\|\right)^{2}=\sum_{i=1}^{m}\left(g_{n}[i]-g[i]\right)^{2} \nonumber \]

Таким чином,

\ [\ begin {вирівняний}
\ ім'я оператора {limit} _ {n\ стрілка вправо\ infty}\ лівий (\ лівий\ |g_ {n} -\ напівжирний символ {g}\ праворуч\ |\ праворуч) ^ {2} &=\ ім'я оператора {limit} _ {n\ праворуч\ infty}\ sum_ {i = 1} ^ {m} 2\\
&=\ sum_ {i = 1} ^ {m}\ ім'я оператора {limit} _ {n\ стрілка вправо\ infty} 2\\
&=0
\ end {вирівняний}\ nonumber\]

Доказ: Норма ⇒ Точково

\[\left\|g_{n}-\boldsymbol{g}\right\| \rightarrow 0 \nonumber \]

\ begin {вирівняний}
\ ім'я оператора {limit} _ {n\ правий стрілка\ infty}\ sum_ {i = 1} ^ {m} 2 &=\ sum_ {i = 1} ^ {m}\ ім'я оператора {limit} _ {n\ стрілка вправо\ infty} 2\
&=0
\ кінець {вирівняний}

Оскільки кожен член більше або дорівнює нулю, всі терміни\(m\) повинні бути нульовими. Таким чином,

\[\operatorname{limit}_{n \rightarrow \infty} 2=0 \nonumber \]

для всіх\(i\). Тому

\[g_n \rightarrow \boldsymbol{g} \quad \text{ pointwise } \nonumber \]

Примітка

У нескінченних розмірних просторах вищевказана теорема вже не відповідає дійсності. Ми доводимо це на зустрічних прикладах, показаних нижче.

Приклади лічильників

Приклад\(\PageIndex{5}\): Pointwise \(\nRightarrow\) Norm

Нам дається наступна функція:

\ [g_ {n} (t) =\ left\ {\ begin {масив} {l}
n\ текст {якщо} 0<t<\ frac {1} {n}\\
0\ text {інакше}
\ end {масив}\ справа. \ номер\]

Потім\(\operatorname{limit}_{n \rightarrow \infty} g_{n}(t)=0\). Це означає, що

\[g_{n}(t) \rightarrow g(t) \nonumber \]

де для всіх\(t\)\(g(t)=0\).

Тепер,

\ [\ почати {вирівняний}
\ лівий (\ лівий\ |g_ {n}\ праворуч\ |\ праворуч) ^ {2} &=\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty}\ ліворуч (\ ліворуч | g_ {n} (t)\ праворуч |\ праворуч) ^ {2}\ mathrm {d} t\\
&=\ int_ {0} ^ {fra_ c {1} {n}} n^ {2}\ mathrm {d} t\\
&= n\ стрілка вправо\ infty
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

Оскільки норми функції вибухають, вони не можуть сходитися до будь-якої функції з кінцевою нормою.

Приклад\(\PageIndex{6}\): Norm \(\nRightarrow\) Pointwise

Нам дається наступна функція:

\[g_{n}(t)=\left\{\begin{array}{l}1 \text { if } 0<t<\frac{1}{n} \text { if } n \text { is even } \\ 0 \text { otherwise }\end{array}\right. \nonumber \]

\[g_{n}(t)=\left\{\begin{array}{l}-1 \text { if } 0<t<\frac{1}{n} \text { if } n \text { is odd } \\ 0 \text { otherwise }\end{array}\right. \nonumber \]

Потім,

\[\left\|g_{n}-g\right\|=\int_{0}^{\frac{1}{n}} 1 \mathrm{d} t=\frac{1}{n} \rightarrow 0 \nonumber \]

де\(g(t)=0\) для всіх\(t\). Тому

\[g_n \rightarrow g \quad \text{in norm} \nonumber \]

Однак при\(t=0\),\(g_n(t)\) коливається між -1 і 1, і тому він не сходиться. Таким чином,\(g_n(t)\) не сходиться точково.