16.2: Збіжність послідовностей
- Page ID
- 34058
Послідовності
Визначення: Послідовність
Послідовність - це функція,\(g_n\) визначена на натуральних числах '\(n\)'. Послідовність ми часто позначаємо\(\left.\left\{g_{n}\right\}\right|_{n=1} ^{\infty}\)
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Реальна числова послідовність:
\[g_{n}=\frac{1}{n} \nonumber \]
Приклад\(\PageIndex{2}\)
Векторна послідовність:
\ [g_ {n} =\ лівий (\ begin {масив} {c}
\ sin\ лівий (\ frac {n\ pi} {2}\ праворуч)\
\ cos\ лівий (\ frac {n\ pi} {2}\ праворуч)
\ кінець {масив}\ праворуч)\ nonumber\]
Приклад\(\PageIndex{3}\)
Послідовність функцій:
\ [g_ {n} (t) =\ left\ {\ begin {масив} {ll}
1 &\ текст {якщо} 0\ leq t<\ frac {1} {n}\\
0 &\ text {інакше}
\ end {масив}\ справа. \ номер\]
Примітка
Функцію можна розглядати як нескінченний розмірний вектор, де для кожного значення '\(t\)' ми маємо один вимір
Збіжність дійсних послідовностей
Визначення: Обмеження
Послідовність\(\left.\left\{g_{n}\right\}\right|_{n=1} ^{\infty}\) сходиться до межі,\(g \in \mathbb{R}\) якщо для кожного\(\varepsilon > 0\) існує ціле число\(N\) таке, що
\[\left|g_{i}-g\right|<\varepsilon, \quad i \geq N \nonumber \]
Зазвичай ми позначаємо ліміт шляхом написання
\[\operatorname{limit}_{i \rightarrow \infty} g_{i}=g \nonumber \]
або
\[g_{i} \rightarrow g \nonumber \]
Вищенаведене визначення означає, що незалежно від того\(\varepsilon\), наскільки малі ми робимо, за винятком\(g_i\) кінцевого числа з, всі точки послідовності знаходяться в межах відстані\(\varepsilon\)\(g\).
Приклад\(\PageIndex{4}\)
Наводиться наступна збіжна послідовність:
\[g_n=\frac{1}{n} \nonumber \]
Інтуїтивно можна припустити наступну межу:
\[\operatorname{limit}_{n \rightarrow \infty} g_{n}=0 \nonumber \]
Доведемо це суворо. Скажіть, що нам дано дійсне число\(\varepsilon > 0\). Виберемо\(N=\left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil\), де\([x]\) позначає найменше ціле число більше ніж\(x\). Тоді для\(n≥N\) нас є
\[\left|g_{n}-0\right|=\frac{1}{n} \leq \frac{1}{N}<\varepsilon \nonumber \]
Таким чином,
\[\operatorname{limit}_{n \rightarrow \infty} g_{n}=0 \nonumber \]
Приклад\(\PageIndex{5}\)
Тепер давайте розглянемо наступну незбіжну послідовність
\[g_{n}=\left\{\begin{array}{l}1 \text { if } n=\text { even } \\ -1 \text { if } n=\text { odd }\end{array}\right. \nonumber \]
Ця послідовність коливається між 1 і -1, тому вона ніколи не сходиться.