16.1: Вступ до метричних просторів

Вступ

У травні курси такі поняття, як безперервність та конвергенція, посилаються без особливого обговорення їх формальних визначень, натомість покладаючись на інтуїтивне розуміння цих питань читачем. Однак для цілей доказів, включаючи деякі в основній частині матеріалу для цього курсу, потрібна більша строгість. Цей модуль обговорюватиме метричні простори, математичну конструкцію, яка забезпечує основу для дослідження безперервності, конвергенції та інших пов'язаних ідей у їх найбільш конкретних, але все ще формальних сенсах. Це досягається шляхом формалізації поняття відстані між двома елементами в множині. Мета цього та наступних модулів у цьому розділі полягає не в тому, щоб дати повний огляд основних тем аналізу, а дати короткий вступ до тих, хто найважливіший для обговорення обробки сигналів у цьому курсі.

Метричні простори

Поняття відстані

У багатьох ситуаціях при обробці сигналів часто корисно мати поняття відстані між точками в наборі. Це поняття математично формалізується через ідею метричного простору. Метричний простір\((M,d)\) являє собою набір\(M\) разом з функцією\(d: M \times M \rightarrow R\), яка призначає відстані між парами елементів в\(M\) той час як задовольняє три умови. По-перше, для кожного\(x, y \in M, d(x, y) \geq 0\) з\(d(x,y)=0\) якщо і тільки якщо\(x=y\). По-друге, для кожного\(x, y \in M, d(x, y)=d(y, x)\) симетрично. По-третє, для кожного\(x, y, z \in M, d(x, y)+d(x, z) \geq d(y, z)\), який відомий як нерівність трикутника.

Є, звичайно, кілька різних можливих варіантів визначень відстаней в заданому наборі. Наше типове інтуїтивне розуміння відстані\(\mathbb{R}^n\) вписується в ці рамки як стандартна евклідова метрика

\[d(x, y)=\|x-y\|_{2} \nonumber \]

як це робить таксикаб або метрика Манхеттена

\[d(x, y)=\|x-y\|_{1} \nonumber \]

що підсумовує окремі складові векторів, представляючи, наприклад, відстані, пройдені ходьбою по міських кварталах. Інший простий, але більш екзотичний приклад надається дискретною метрикою на будь-якому множині, визначеному

\ [d (x, y) =\ лівий\ {\ begin {масив} {ll}
0 & x=y\\
1 & x\ neq y
\ end {масив}\ праворуч. \ номер\]

в якому всі пари різних точок однаково віддалені один від одного, але кожна точка знаходиться на нульовій відстані від себе. Можна перевірити, що вони задовольняють умовам для метричних просторів.

Взаємозв'язок з нормами

Не дивно, що норми, які надають поняття розміру, і метрики, що забезпечують поняття відстані, мали б тісний взаємозв'язок. Інтуїтивно, одним із способів визначення відстані між двома точками в метричному просторі може бути розмір їх різниці. Іншими словами, заданий вектор простір\(V\) над полем\(F\) з нормою\(\|\cdot\|\), ми могли б запитати, якщо функція

\[d(x, y)=\|x-y\| \nonumber \]

для кожного\(x, y \in V\) задовольняє умовам для\((V,d)\) того, щоб бути метричним простором.

\(V\)Дозволяти векторний простір над полем\(F\) з нормою\(\|\cdot\|\), і нехай\(d(x, y)=\|x-y\|\). Нагадаємо, що так як\(\|\cdot\|\) є нормою,\(|| x||=0\) якщо і тільки\(x=0\) тоді і\(|| a x||=|a||| x||\) для всіх\(a \in F\) і\(x \in V\). Звідси\(|| x-y|| \geq 0\) для всіх\(x,y \in V\) і\(\|x-y\|=0\) якщо і тільки якщо\(x=y\). Так як\(y−x=−(x−y)\) і\(\|-(x-y)\|=\|x-y\|\) випливає, що\(|| x-y||=|| y-x \mid\) для всіх\(x,y \in V\). Нарешті,\(\|x\|+\|y\| \geq\|x+y\|\) за властивостями норм, так\(\|x-y\|+\|x-z\| \geq\|y-z\|\) для всіх\(x,y,z \in V\). Таким чином,\((V,d)\) дійсно задовольняє умовам бути метричним простором і обговорюється як метричний простір, індукований нормою\(\|\cdot\|\).

Короткий опис метричних просторів

Метричні простори надають поняття відстані та рамки, за допомогою яких формально вивчати математичні поняття, такі як безперервність та збіжність, та інші пов'язані ідеї. Для даного набору можна вибрати багато метрик, і наші найпоширеніші поняття відстані задовольняють умовам, щоб бути метрикою. Будь-яка норма в векторному просторі індукує метрику на цьому векторному просторі і саме в цих типах метричних просторів ми часто найбільш зацікавлені для вивчення сигналів і систем.