15.14: Наближення та проекції в гільбертовому просторі

Вступ

З огляду на пряму 'l' і точку 'p' в площині, яка найближча точка 'm' до 'p' на 'l'?

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Малюнок точки 'p' і лінії 'l' згадані вище.

Та сама проблема:\(v\) Дозволяти\(x\) і бути векторами в\(\mathbb{R}^2\). Скажи\(\|v\|=1\). Для чого значення\(\alpha\) зводиться\(\|x-\alpha v\|_{2}\) до мінімуму? (Яка точка в прольоті {v} найкраще наближається\(x\)?)

Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Умова полягає в тому, що\(x-\widehat{\alpha} v\) і\(\alpha v\) є ортогональними.

Обчислення α

Як розрахувати\(\widehat{a}\)?

Ми знаємо, що (\(x-\widehat{\alpha} v\)) перпендикулярно кожному вектору в прольоті {v}, тому

\ [\ begin {масив} {l}
\ langle x-\ widehat {\ альфа} v,\ beta v\ діапазон = 0,\ для всіх (\ бета)\
\ бар {\ бета}\ langle (x, v)\ діапазон-\ widehat {\ альфа}\ бар {\ бета}\ langle (v, v)\ діапазон = 0
\ кінець {масив}\ nonu бурштиновий\]

тому що\(\langle v, v\rangle=1\), так

\[(\langle(x, v)\rangle-\hat{\alpha}=0) \Rightarrow(\hat{\alpha}=\langle x, v\rangle) \nonumber \]

Найближчий вектор в прольоті {v} =\(\langle(x, v)\rangle v\), де\(\langle(x, v)\rangle v\) проекція\(x\) onto\(v\).

Ми можемо зробити те ж саме у вищих вимірах.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

\(V \subset H\)Дозволяти підпростір гільбертового простору (Розділ 15.4)\(H\). Нехай\(x \in H\) дадуть. Знайти те\(y \in V\), що найкраще наближається\(x\). Тобто,\(\|x-y\|\) зводиться до мінімуму.

Відповідь

1. Знайти ортонормальну основу\(\left\{b_{1}, \ldots, b_{k}\right\}\) для\(V\)
2. Проект\(x\) на\(V\) використання\[y=\sum_{i=1}^{k}\left\langle\left(x, b_{i}\right)\right\rangle b_{i} \nonumber \] тоді\(y\) є найближчою точкою\(V\) до x і\((x-y) \perp V(\langle x-y, v\rangle=0, \quad \forall(v) \in V\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

\(x \in \mathbb{R}^{3}\),\ (V=\ ім'я оператора {span}\ left (\ left\ {\ left (\ begin {масив} {l}
1\
0\
0
\ кінець {масив}\ праворуч),\ left (\ begin {масив} {l}
0\
\
0
\ end {масив}\ праворуч)\ право\}\ праворуч)\ (x =\ ліво (\ {почати) масив} {l}
a\\
b\\
c
\ end {масив}\ право)\). Отже,

\ [y=\ sum_ {i = 1} ^ {2}\ лівий\ ланкут\ лівий (x, b_ {i}\ правий)\ правий\ діапазон b_ {i} =a\ left (\ begin {масив} {l}
1\
0\
0\ кінець {масив}
\ праворуч) +b\ left (\ begin {масив} {l}
0\
1\\
0\ кінець {масив}
\ праворуч) =\ ліворуч (\ begin { масив} {l}
a\\
b\\
0
\ end {масив}\ право)\ nonumber\]

Приклад\(\PageIndex{2}\)

V = {простір періодичних сигналів з частотою не більше\(3w_0\)}. Заданий періодичний f (t), який сигнал у V найкраще наближається f?

1. \(\left\{\frac{1}{\sqrt{T}} e^{j w_{0} k t}, k=-3,-2, \dots, 2,3\right\}\)є ОНБ для V
2. \(g(t)=\frac{1}{T} \sum_{k=-3}^{3}\left\langle\left(f(t), e^{j w_{0} k t}\right)\right\rangle e^{j w_{0} k t}\)найближчий сигнал від V до f (t) ⇒ реконструювати f (t), використовуючи лише 7 членів його рядів Фур'є.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Нехай V = {функції кусково постійна між цілими числами}

1. ОНБ для В.

\ [b_ {i} =\ left\ {\ begin {масив} {l}
1\ текст {якщо} i-1\ leq t<i\\
0\ text {інакше}
\ end {масив}\ справа. \ номер\]

де\(\left\{b_{i}\right\}\) знаходиться ОНБ.

Найкраще кусково-постійне наближення?

\ [\ почати {масив} {c}
g (t) =\ sum_ {i=-\ infty} ^ {\ infty}\ лівий\ лангель\ лівий (f, b_ {i}\ правий)\ правий\ діапазон b_ {i}\
\ лівий\ лангл f, b_ {i}\ вправо\ діапазон =\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty}} f (t) b_ {i} (t)\ mathrm {d} t=\ int_ {i-1} ^ {i} f (t)\ mathrm {d} t
\ end {масив}\ nonumber\]

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Ця демонстрація досліджує наближення за допомогою основи Фур'є та основи вейвлету Хаара. Дивіться тут інструкції про те, як використовувати демо.