15.13: Теореми Планшареля та Парсеваля

Теорема Парсеваля

Безперервний час серії Фур'є зберігає енергію сигналу

тобто:

\[\int_{0}^{T}|f(t)|^{2} d t=T \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left|C_{n}\right|^{2} \quad \text { with unnormalized basis } e^{j \frac{2 \pi}{T} n t} \nonumber \]

\[\int_{0}^{T}|f(t)|^{2} d t=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left|C_{n}\right|^{2} \quad \text { with unnormalized basis } \frac{e^{j \frac{2 \pi}{T} n t}}{\sqrt{T}} \nonumber \]

\[\underbrace{\|f\|_{2}^{2}}_{L^{2}[0, T) e n e r g y}=\underbrace{\left\|C_{n}^{\prime}\right\|_{2}^{2}}_{l^{2}(Z) e n e r g y} \nonumber \]

Доведіть: Теорема Планшереля

\ [\ почати {вирівняний}
\ текст {Задано} f (t) &\ stackrel {\ текст {CTFS}} {\ longrightarrow} c_ {n}\\
g (t) &\ stackrel {\ текст {CTFS}} {\ longrightarrow} d_ {n}
\ кінець {вирівняний}\ нечисловий\]

\[\text { Then } \int_{0}^{T} f(t) g^{*}(t) d t=T \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} d_{n}^{*} \text { with unnormalized basis } e^{j \frac{2 \pi}{T} n t} \nonumber \]

\[\int_{0}^{T} f(t) g^{*}(t) d t=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}^{\prime}\left(d_{n}^{\prime}\right)^{*} \text { with normalized basis } \frac{e^{j \frac{2 \pi}{T} n t}}{\sqrt{T}} \nonumber \]

\[\langle f, g\rangle_{L_{2}(0, T]}=\langle c, d\rangle_{l_{2}(\mathbb{Z})} \nonumber \]

Періодичні сигнали Потужність

\[\text { Energy }=\|f\|^{2}=\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^{2} d t=\infty \nonumber \]

\ [\ почати {вирівняний}
\ текст {Потужність} &=\ lim _ {T\ стрілка вправо\ infty}\ frac {\ текст {Енергія в} [0, Т)} {T}\\
&=\ lim _ {T\ праворуч\ infty}\ frac {T\ sum_ {n}\ ліво|c_ {n}\ право|^ {2} {T}\\
&=\ sum_ {n\ in\ mathbb {Z}}\ left|c_ {n}\ праворуч |^ {2} (\ текст {ненормований}\ математика {FS})
\ кінець {вирівняний}\ номер\]

Приклад\(\PageIndex{1}\): Fourier Series of Square Pulse III - Compute the Energy

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

\[f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{j \frac{2 \pi}{T} n t} \stackrel{\mathbb{F}\mathbb{S}}{\rightarrow} c_{n}=\frac{1}{2} \frac{\sin \frac{\pi}{2} n}{\frac{\pi}{2} n} \nonumber \]

\[\text { energy in time domain: }\|f\|_{2}^{2}=\int_{0}^{T}|f(t)|^{2} d t=\frac{T}{2} \nonumber \]

Застосуйте теорему Парсеваля:

\[\quad T \sum_{n}\left|c_{n}\right|^{2} \nonumber \]
\ [\ begin {масив} {l}
=\ frac {T} {4}\ sum_ {n}\ ліворуч (\ frac {\ sin\ frac {\ pi} {2} n}\ праворуч) ^ {2}\\
=\ гідророзриву {T} {4}\ frac {4} {\ pi} {\ pi^ {2}\\ sum_ {n}\ frac {\ лівий (\ sin\ frac {\ pi} {2} n\ праворуч) ^ {2}} {n^ {2}}\\
=\ frac {T} {\ pi^ {2}}\ лівий [\ frac {\ pi^ {2}} { 4} +\ піддужка {\ sum_ {n}\ ім'я оператора {odd}\ frac {1} {n^ {2}}} _ {\ frac {\ pi^ {2}} {4}}\ право]\
=\ frac {T} {2}\ квадрат
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Теорема Планшареля

Теорема\(\PageIndex{1}\): Plancharel Theorem

Внутрішній добуток двох векторів/сигналів таке ж, як і\(\ell^2\) внутрішній добуток їх коефіцієнтів розширення.

\(\left\{b_{i}\right\}\)Дозволяти бути ортонормальною основою для гільбертового простору\(H\). \(x \in H\),\(y \in H\)

\ [\ begin {масив} {l}
x=\ sum_ {i}\ alpha_ {i} b_ {i}\ i}\
y=\ sum_ {i}\ beta_ {i} b_ {i}
\ кінець {масив}\ nonumber\]

потім

\[\langle x, y\rangle_{H}=\sum_{i} \alpha_{i} \overline{\beta_{i}} \nonumber \]

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Застосовуючи ряди Фур'є, ми можемо переходити від\(f(t)\) до\(\left\{c_{n}\right\}\) і\(g(t)\) до\(\left\{d_{n}\right\}\)

\[\int_{0}^{T} f(t) \overline{g(t)} \mathrm{d} t=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} \overline{d_{n}} \nonumber \]

внутрішній добуток у часовій області = внутрішній добуток коефіцієнтів Фур'є.

Доказ:

\ [\ begin {масив} {л}
x=\ sum_ {i}\ alpha_ {i} b_ {i}\ i}\
y=\ sum_ {j}\ бета_ {j} b_ {j}
\ кінець {масив}\ nonumber\]

\[\langle x, y\rangle_{H}=\left\langle\sum_{i} \alpha_{i} b_{i}, \sum_{j} \beta_{j} b_{j}\right\rangle=\sum_{i} \alpha_{i}\left\langle\left(b_{i}, \sum_{j} \beta_{j} b_{j}\right)\right\rangle=\sum_{i} \alpha_{i} \sum_{j} \bar{\beta}_{j}\left\langle\left(b_{i}, b_{j}\right)\right\rangle=\sum_{i} \alpha_{i} \bar{\beta}_{i} \nonumber \]

за допомогою внутрішніх правил продукту (Розділ 15.4)

Примітка

\(\left\langle b_{i}, b_{j}\right\rangle=0\)коли\(i \neq j\) і\(\left\langle b_{i}, b_{j}\right\rangle=1\) коли\(i=j\)

Якщо гільбертовий простір H має ОНБ, то внутрішні вироби еквівалентні внутрішнім продуктам в\(\ell^2\).

Всі Н з ОНБ якось еквівалентні\(\ell^2\).

Точка інтересу

Важливі послідовності, що підсумовуються за квадратами

Демонстрація теореми Планшареля

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Взаємодійте (коли в Інтернеті) з Mathematica CDF демонструє теорему Планшареля візуально. Щоб завантажити, клацніть правою кнопкою миші та збережіть ціль як .cdf.

Теорема Парсеваля: інший підхід

Теорема\(\PageIndex{2}\): Parseval's Theorem

Енергія сигналу = сума квадратів його коефіцієнтів розширення

Нехай\(x \in H\),\(\left\{b_{i}\right\}\) ОНБ

\[x=\sum_{i} \alpha_{i} b_{i} \nonumber \]

Тоді

\[\left(\|x\|_{H}\right)^{2}=\sum_{i}\left(\left|\alpha_{i}\right|\right)^{2} \nonumber \]

Доказ:

Безпосередньо з Планшареля

\[\left(\|x\|_{H}\right)^{2}=\langle x, x\rangle_{H}=\sum_{i} \alpha_{i} \overline{\alpha_{i}}=\sum_{i}\left(\left|\alpha_{i}\right|\right)^{2} \nonumber \]

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Серія Фур'є\(\frac{1}{\sqrt{T}} e^{j w_{0} n t}\)

\ [\ почати {масив} {c}
f (t) =\ frac {1} {\ sqrt {T}}\ sum_ {n} c_ {n}\ frac {1} {\ sqrt {T}} e^ {j w_ {0} n t}\
\ int_ {0} ^ {T} (|f (t) |) ^ {2} d\ t= sum_ {n=-\ infty} ^ {\ infty}\ ліворуч (\ ліво|c_ {n}\ праворуч |\ праворуч) ^ {2}
\ кінець {масив}\ nonumber\]