15.12: Ортонормальні основи у реальному та складному просторах
- Page ID
- 34249
Позначення
Оператор транспонування\(A^T\) перевертає матрицю по діагоналі.
\ [\ begin {масив} {l}
A=\ left (\ begin {масив} {ll}
a_ {1,1} & a_ {1,2}\
a_ {2,1} & a_ {2,2}
\ кінець {масив}\ вправо)\\
A^ {T} =\ left (\ begin {масив} {ll}
a_ {1,1} & a_ {2,1}\ a_ {1}\
a_ _ {1,2} & a_ {2,2}
\ end {масив}\ праворуч)
\ end {масив}\ nonumber\]
\(i\)Колонка\(A\) є \(i\)рядком\(A^T\)
Нагадаємо, внутрішній продукт
\ [\ напівжирний символ {x} =\ left (\ begin {масив} {c}
x_ {0}\\
x_ {1}\
\ vdots\\
x_ {n-1}
\ кінець {масив}\ справа)\ nonumber\]
\ [\ напівжирний символ {y} =\ left (\ begin {масив} {c}
y_ {0}\\
y_ {1}\
\ vdots\\
y_ {n-1}
\ end {масив}\ справа)\ nonumber\]
\ [\ напівжирний символ {x} ^ {T}\ напівжирний символ {y} =\ лівий (\ початок {масив} {cccc} x_ {0} &
x_ {1} &\ ldots & x_ {n-1}\ кінець {масив}
\ вправо)\ лівий (\ початок {масив} {c} y_ {0}\
y_ {1}\\ vdots\
y_\ y_ {1}\
\ vdots\
y_\ _ {n-1}
\ end {масив}\ праворуч) =\ sum_ { i}\ напівжирний символ {x} _ {i}\ напівжирний символ {y} _ {i} =\ лангове\ напівжирний символ {y},\ напівжирний символ {x}\ діапазон\ nonnumber\]
на\(\mathbb{R}^n\).
Герміт транспонувати\(A^H\), транспонувати і сполучати
\ [\ почати {масив} {c}
A^ {\ mathrm {H}} =\ накладання {A^ {T}}\
\ лангове\ напівжирний символ {y},\ напівжирний символ {x}\ діапазон =\ напівжирний символ {x} ^ {\ mathrm {H}}\ жирний символ {y} =\ sum_ {i}\ жирний символ {x} _ {i}\ бар {\ напівжирний символ {y}} _ {i}
\ кінець {масив}\ nonumber\]
на\(\mathbb{C}^n\).
Тепер, нехай\(\left\{b_{0}, b_{1}, \dots, b_{n-1}\right\}\) буде ортонормальною основою для\(\mathbb{C}^n\)
\ [\ begin {масив} {c}
i=\ {0,1,\ ldots, n-1\}\ лівий\ ланкут b_ {i}, b_ {i}\ правий\ діапазон = 1\\
\ ліворуч (i\ neq j,\ лівий\ кут b_ {i}, b_ {i}\ правий\ діапазон = b_ {j} ^ {H} b_ {i}} =0\ праворуч)
\ кінець {масив}\ nonumber\]
Базова матриця:
\ [B=\ ліворуч (\ почати {масив} {cccc}
\ vdots &\ vdots &\\ vdots\\
b_ {0} & b_ {1} &\ точки & b_ {n-1}\
\ vdots &\ vdots &\ vdots
\ кінець {масив}\ справа)\ nonumber\]
Тепер,
\ [B^ {\ mathrm {H}} B=\ left (\ begin {масив} {ccc}
\ cdots & b_ {0} ^ {\ mathrm {H}}} &\ cdots\
\ cdots\\ cdots & b_ {1} ^ {\ mathrm {H}}
&\ cdots\
\ cdots & b_ {n-1} {\ mathrm {H}} &\ ldots\ кінець {масив}
\ праворуч)\ лівий (\ begin {масив } {cccc}
\ vdots &\ vdots\\ vdots\\
b_ {0} & b_ {1} &\ cdots & b_ {n-1}
\\ vdots &\ vdots
\ кінець {масив}\ вправо) =\ ліворуч (\ почати {масив} {cccc}
b_ {0} ^ {\ mathrm {H}} {b_} 0} & b_ {0} ^ {\ математика {H}} b_ {1} &\ ldots & b_ {0} ^ {\ математика {H}} b_ {n-1}\\
b_ {1} ^ {\ математика {H}} b_ {0} & b_ {1} ^ {\ mathrm {H}} b_ {1} &\ ldots & b_ {1} ^ {\ mathrm {H}} b_ {n-1}}\
\ vdots & &\\
b_ {n-1} ^ {\ mathrm {H}} b_ {0} & b_ {n-1} ^ {\ mathrm {H}} b_ {1} &\ lots & b_ {n-1} ^ {\ mathrm {H}} b_ {n-1}
\ end {масив}\ право)\ номер\]
Для ортонормальної основи з базисною матрицею\(B\)
\[B^H=B^{-1} \nonumber \]
(\(B^{T}=B^{-1} \text {in } \mathbb{R}^{n}\)в\(\mathbb{R}^n\))\(B^H\) легко обчислити, поки\(B^{-1}\) важко обчислити.
Отже, знайти\(\left\{\alpha_{0}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n-1}\right\}\) таке, що
\[\boldsymbol{x}=\sum_{i} \alpha_{i} b_{i} \nonumber \]
Розрахувати
\[\left(\boldsymbol{\alpha}=B^{-1} \boldsymbol{x}\right) \Rightarrow\left(\boldsymbol{\alpha}=B^{H} \boldsymbol{x}\right) \nonumber \]
Використовуючи ортонормальну основу, ми позбавляємо себе від зворотної операції.