15.11: Хаар Вейвлет-основа

Last updated
Save as PDF

Page ID: 34241

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вступ

Ряди Фур'є є корисним ортонормальним представленням (Розділ 15.9),\(L^2([0,T])\) особливо для входів у системи LTI. Однак він погано підходить для деяких додатків, тобто обробки зображень (згадайте явища Гібба (розділ 6.7)).

Вавелети, виявлені за останні 15 років, є ще одним видом основи\(L^2([0,T])\) і мають багато приємних властивостей.

Порівняння основ

Ряди Фур'є -\(c_n\) дають частотну інформацію. Базисні функції тривають весь інтервал.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Базисні функції Фур'є

Wavelets - основні функції дають інформацію про частоту, але є місцевими за часом.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Базові функції вейвлета

У базисі Фур'є базисними функціями є гармонійні кратні\(e^{j \omega_0 t}\)

Малюнок\(\PageIndex{3}\):\(\text { basis }=\left\{\frac{1}{\sqrt{T}} e^{j \omega_{0} n t}\right\}\)

У базисі вейвлетів Haar базові функції масштабуються та перекладені версії «материнського вейвлету»\(\psi(t)\).

\(\left\{\psi_{j, k}(t)\right\}\)Базисні функції індексуються масштабом j і зсувом k.

Нехай\(\phi(t)=1\),\(0 \leq t<T\) тоді\(\left\{\phi(t), 2^{\frac{j}{2}} \psi\left(2^{j} t-k\right), \phi(t), 2^{\frac{j}{2}} \psi\left(2^{j} t-k\right) \mid j \in \mathbb{Z} \text { and }\left(k=0,1,2, \ldots, 2^{j}-1\right)\right\}\).

\ [\ psi (t) =\ лівий\ {\ begin {масив} {l}
1\ текст {якщо} 0\ leq t<\ frac {T} {2}\\
-1\ текст {якщо} 0\ leq\ frac {T} {2} <T
\ end {масив}\ справа. \ номер\]