Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

15.10: Функціональний простір

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    34257

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Ми також можемо знайти базисні вектори (Розділ 15.9) для векторних просторів (Розділ 15.2), крім\(\mathbb{R}^n\).

    \(P_n\)Дозволяти векторний простір поліномів\(n\) -го порядку на (-1, 1) з дійсними коефіцієнтами (перевірити\(P_2\) це v.s. вдома).

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    \(P_{2}=\{\text { all quadratic polynomials }\}\). Нехай\(b_0(t)=1\),\(b_1(t)=t\),\(b_2(t)=t^2\).

    \(\left\{b_{0}(t), b_{1}(t), b_{2}(t)\right\}\)span\(P_2\), тобто ви можете написати будь-який\(f(t) \in P_2\) як

    \[f(t)=\alpha_{0} b_{0}(t)+\alpha_{1} b_{1}(t)+\alpha_{2} b_{2}(t) \nonumber \]

    для деяких\(\alpha_{i} \in \mathbb{R}\).

    Примітка

    \(P_2\)є 3-мірним.

    \[f(t)=t^2−3t−4 \nonumber \]

    Альтернативна основа

    \[\left\{b_{0}(t), b_{1}(t), b_{2}(t)\right\}=\left\{1, t, \frac{1}{2}\left(3 t^{2}-1\right)\right\} \nonumber \]

    писати з\(f(t)\) точки зору цієї нової основи\(d_0(t)=b_0(t)\),\(d_1(t)=b_1(t)\),\(d_{2}(t)=\frac{3}{2} b_{2}(t)-\frac{1}{2} b_{0}(t)\).

    \ [\ почати {масив} {c}
    f (t) =t^ {2} -3 т-4=4 b_ {0} (t) -3 b_ {1} (t) +b_ {2} (t)\\
    f (t) =\ beta_ {0} d_ {0} (t) +\ beta_ {1} d_ {1} (t) +\ beta_ {2} d_ {2} (t) =\ бета_ {0} b_ {0} (t) +\ бета_ {1} b_ {1} (t) +\ бета_ {2}\ ліворуч (\ frac {3} {2} b_ {2} (t) -\ frac {1} {2} b_ {0} (t)\ право)\
    f (t) =\ бета_ {0} b_ {0} (t) +\ бета_ {1 } b_ {1} (t) +\ frac {3} {2}\ beta_ {2} b_ {2} (t)
    \ кінець {масив}\ nonumber\]

    тому

    \ [\ почати {масив} {c}
    \ бета_ {0} -\ гідророзриву {1} {2} =4\
    \ бета_ {1} =-3\\
    \ гідророзриву {3} {2}\ бета_ {2} =1
    \ кінець {масив}\ nonumber\]

    то отримуємо

    \[f(t)=4.5 d_{0}(t)-3 d_{1}(t)+\frac{2}{3} d_{2}(t) \nonumber \]

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    \(\left.e^{j \omega_{0} n t}\right|_{n=-\infty} ^{\infty}\)є основою для\(L^2([0,T])\),\(T=\frac{2 \pi}{\omega_0}\),\(f(t)=\sum_{n} C_{n} e^{j \omega_{0} n t}\).

    Розраховуємо коефіцієнти розширення з

    Формула «зміна основи»:

    \[C_{n}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T}\left(f(t) e^{-\left(j \omega_{0} n t\right)}\right) d t \nonumber \]

    Примітка

    У базовому наборі є нескінченна кількість елементів,\(L^2([0,T])\) тобто нескінченно вимірна (страшно!).

    Нескінченновимірні простори важко візуалізувати. Ми можемо впоратися з інтуїцією, визнаючи, що вони поділяють багато однакових математичних властивостей з скінченними розмірними просторами. Багато понять застосовуються до обох (наприклад, «розширення основи»). Деякі цього не роблять (зміна основи не є гарною матричною формулою).