15.9: Ортонормальні розширення основи

Головна ідея

При роботі з сигналами багато разів корисно розбити сигнал на менші, більш керовані частини. Сподіваємось, до цього часу ви були піддані концепції власних векторів (Розділ 14.2) і там використовують у розкладанні сигналу на одну з його можливих основ. Роблячи це, ми можемо спростити наші розрахунки сигналів та систем за допомогою власних функцій систем LTI (розділ 14.5).

Тепер ми хотіли б розглянути альтернативний спосіб представлення сигналів, за допомогою використання ортонормальної основи. Ми можемо думати про ортонормальну основу як набір будівельних блоків, які ми використовуємо для побудови функцій. Ми будемо будувати сигнал/вектор як зважену суму базових елементів.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Комплекс синусоїдів\(\frac{1}{\sqrt{T}} e^{j \omega_0 nt}\) для всіх\(-\infty<n<\infty\) утворюють ортонормальну основу для\(L^{2}([0, T])\).

У нашому рівнянні рядів\(\left\{c_{n}\right\}\) Фур'є\(f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{j \omega_{0} n t}\), це просто ще одне подання\(f(t)\).

Примітка

Для сигналів/векторів у гільбертовому просторі коефіцієнти розширення легко знайти.

Альтернативне представлення

Нагадаємо наше визначення базису: Набір векторів\(\left\{b_{i}\right\}\) у векторному просторі\(S\) є основою, якщо

1. \(b_i\)Є лінійно незалежними.
2. \(b_i\)Проліт\(S\). Тобто ми можемо знайти\(\left\{\alpha_{i}\right\}\), де\(\alpha_{i} \in \mathbb{C}\) (скаляри) такі, що

   \[\boldsymbol{x}=\sum_{i} \alpha_{i} b_{i}, x \in S \nonumber \]

   де\(\boldsymbol{x}\) вектор в\(S\),\(\alpha\) є скаляром в\(\mathbb{C}\), і\(\boldsymbol{b}\) є вектором в\(S\).

Умова 2 у наведеному вище визначенні говорить, що ми можемо розкласти будь-який вектор з точки зору\(\left\{b_{i}\right\}\). Умова 1 гарантує, що розкладання унікальне (подумайте про це в домашніх умовах).

Примітка

\(\left\{\alpha_{i}\right\}\)Забезпечують альтернативне подання\(\boldsymbol{x}\).

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Давайте розглянемо простий приклад в\(\mathbb{R}^2\), де ми маємо наступний вектор:

\ [\ напівжирний символ {x} =\ лівий (\ begin {масив} {l}
1\\
2
\ end {масив}\ праворуч)\ nonumber\]

Стандартна основа:\(\left\{e_{0}, e_{1}\right\}=\left\{(1,0)^{T},(0,1)^{T}\right\}\)

\[\boldsymbol{x}=e_{0}+2 e_{1} \nonumber \]

Альтернативна основа:\(\left\{h_{0}, h_{1}\right\}=\left\{(1,1)^{T},(1,-1)^{T}\right\}\)

\[\boldsymbol{x}=\frac{3}{2} h_{0}+\frac{-1}{2} h_{1} \nonumber \]

Загалом, дано основу\(\left\{b_{0}, b_{1}\right\}\) і вектор\(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^2\), як ми знаходимо\(\alpha_0\) і\(\alpha_1\) таке, що

\[\boldsymbol{x}=\alpha_{0} b_{0}+\alpha_{1} b_{1} \label{15.48} \]

Пошук коефіцієнтів

Тепер давайте розглянемо питання, поставлене вище про знаходження\(\alpha_i\) в цілому для\(\mathbb{R}^2\). Ми починаємо з перезапису Equation\ ref {15.48}, щоб ми могли скласти наші\(b_i\) стовпці в\(2 \times 2\) матриці.

\[(x)=\alpha_{0}\left(b_{0}\right)+\alpha_{1}\left(b_{1}\right) \label{15.49} \]

\ [(x) =\ лівий (\ початок {масив} {ccc}
\ vdots &\ vdots\\
b_ {0} & b_ {0}\
\ vdots &\ vdots
\ кінець {масив}\ вправо)\ ліворуч (\ почати {масив} {l}
a_ {0}\
a_ {1}
\ кінець {масив}\ праворуч)\ мітка {15.50}\

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Ось простий приклад, який показує трохи докладніше про вищевказаних рівняннях.

\ [\ почати {вирівняти}
\ ліворуч (\ почати {масив} {c}
x [0]\
x [1]
\ кінець {масив}\ праворуч) &=\ alpha_ {0}\ лівий (\ begin {масив} {c}
b_ {0} [0]\
b_ {0} [1]
\ кінець {масив}\ праворуч) +\ alpha_ {1}\ left (\ b_ {0} [1] масив} {c}
b_ {1} [0]\\
b_ {1} [1]
\ кінець {масив}\ праворуч)\ номер\\
&=\ ліворуч (\ почати {масив} {c}
\ alpha_ {0} b_ {0} [0] +
\ alpha_ {1} b_ {1} [0]\\ alpha_ {0} [1]]
\ end {масив}\ праворуч)
\ кінець {вирівнювання}\ nonumber\]

\ [\ left (\ begin {масив} {l}
x [0]\
x [1]
\ кінець {масив}\ праворуч) =\ лівий (\ begin {масив} {ll}
b_ {0} [0] & b_ {1} [0]\
b_ {0} [1] & b_ {1} [1]
\ кінець {масив}\ праворуч)\ left (\ {begin} {l}
\ альфа_ {0}\
\ альфа_ {1}
\ end {масив}\ право)\ nonumber\]

Спрощення нашого рівняння

Щоб зробити позначення простіше, ми визначаємо наступні два пункти з вищевказаних рівнянь:

• Базисна матриця:

  \ [B=\ left (\ begin {масив} {cc}
  \ vdots &\ vdots\\
  b_ {0} & b_ {1}\
  \ vdots &\ vdots
  \ end {масив}\ праворуч)\ nonumber\]

• Вектор коефіцієнта:

  \ [\ напівжирний символ {\ альфа} =\ лівий (\ begin {масив} {l}
  \ alpha_ {0}\
  \ alpha_ {1}
  \ кінець {масив}\ праворуч)\ nonumber\]

Це дає нам наступне, стисле рівняння:

\[\boldsymbol{x}=B \boldsymbol{\alpha} \label{15.53} \]

що еквівалентно\(\boldsymbol{x}=\sum_{i=0}^{1} \alpha_{i} b_{i}\).

Приклад\(\PageIndex{4}\)

З огляду на стандартну основу,\ (\ left\ {\ left (\ begin {масив} {l}
1\
\
0\ end {масив}\ право),\ left (\ begin {array} {l}
0
\
1\ end {масив}\ право\}\), то маємо наступну базову матрицю:

\ [B=\ left (\ begin {масив} {ll}
0 & 1\
1 & 0
\ end {масив}\ праворуч)\ nonumber\]

Щоб отримати\(\alpha_i\) s, розв'язуємо для вектора коефіцієнта в Equation\ ref {15.53}

\[\boldsymbol{\alpha}=B^{-1} \boldsymbol{x} \label{15.54} \]

Де\(B^{-1}\) знаходиться обернена матриця\(B\).

Приклади

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Давайте спочатку розглянемо стандартну основу і спробуємо обчислити\(\boldsymbol{\alpha}\) з неї.

\ [B=\ left (\ begin {масив} {ll}
1 & 0\
0 & 1
\ кінець {масив}\ праворуч) =I\ nonnumber\]

Де\(I\) знаходиться матриця ідентичності. Для того, щоб вирішити для\(\boldsymbol{\alpha}\) знайдемо зворотне\(B\) перше (що, очевидно, дуже тривіально в даному випадку):

\ [B^ {-1} =\ ліворуч (\ begin {масив} {ll}
1 & 0\
0 & 1
\ end {масив}\ праворуч)\ nonumber\]

Тому отримуємо,

\[\boldsymbol{\alpha}=B^{-1} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x} \nonumber \]

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Давайте подивимося на все так трохи складнішу основу\ (\ left\ {\ left (\ begin {масив} {l}
1\
1
\ end {масив}\ право),\ left (\ begin {масив} {c}
1
\
-1\ end {масив}\ право\} =\ left\ {h_ {0}, h_ {1}\ справа\}\) Тоді наша основа матриця і зворотна базисна матриця стає:

\ [\ почати {вирівняний}
B &=\ ліворуч (\ begin {масив}
{cc}
1 & 1\ -1\ кінець {масив}\ праворуч)\\
B^ {-1} &=
\ лівий (\ begin {масив} {cc} {1} {2} &
\ frac {1} {2} {2}

\ end {масив}\ праворуч)
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

і для цього прикладу наведено, що

\ [\ напівжирний символ {x} =\ лівий (\ begin {масив} {l}
3\\
2
\ кінець {масив}\ праворуч)\ nonumber\]

Тепер вирішуємо для\(\boldsymbol{\alpha}\)

\ [\ жирний символ {\ альфа} =B^ {-1}\ жирний символ {x} =\ лівий (\ begin {масив} {cc}
\ frac {1} {2} &\ frac {1} {2}\
\ frac {1} {2} {2}\ кінець {масив}\ праворуч)
\ left (\ begin {масив} {l}
3\\
2\ end {масив}
\ праворуч) =\ left (\ begin {масив} {l}
2.5\\
0.5
\ end {масив}\ праворуч)\ nonumber\]

і ми отримуємо

\[\boldsymbol{x}=2.5 h_{0}+0.5 h_{1} \nonumber \]

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Тепер нам дається наступна базисна матриця і\(\boldsymbol{x}\):

\ [\ begin {масив} {c}
\ лівий\ {b_ {0}, b_ {1}\ праворуч\} =\ лівий\ {\ лівий (\ begin {масив} {l}
1\
2
\ кінець {масив}\ праворуч),\ лівий (\ begin {масив} {l}
3\
0
\ кінець {масив}\ праворуч)\\
\ boldsymbol {x} =\ ліворуч (\ почати { масив} {l}
3\\
2
\ end {масив}\ справа)
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Для цього завдання зробіть ескіз підстав і потім представляйте\(\boldsymbol{x}\) в плані\(b_0\) і\(b_1\).

Відповідь

Для того, щоб представити з\(\boldsymbol{x}\) точки зору\(b_0\) і\(b_1\) ми будемо слідувати тим же крокам, які ми використовували в наведеному вище прикладі.

\ [\ begin {масив} {c}
B=\ left (\ begin {масив} {cc}
1 & 2\
3 & 0
\ кінець {масив}\ праворуч)\\
B^ {-1} =\ left (\ begin {масив} {cc}
0 &\ frac {1} {2}
\\ гідророзриву {1} {3} &\ frac {-1} {6}
\ end {масив}\ праворуч)\
\ напівжирний символ {\ альфа} =B^ {-1}\ напівжирний символ {x} =\ лівий (\ початок {масив} {c}
1\
\ frac {2} {3}
\ кінець {масив}\ праворуч)
\ кінець {масив}\ nonumber\]

А тепер ми можемо писати з\(\boldsymbol{x}\) точки зору\(b_0\) і\(b_1\).

\[\boldsymbol{x}=b_{0}+\frac{2}{3} b_{1} \nonumber \]

І ми можемо легко замінити наші відомі значення\(b_0\) і\(b_1\) перевірити наші результати.

Примітка

Зміна основи просто дивиться\(\boldsymbol{x}\) з «іншої точки зору». \(B^{-1}\)перетворюється\(\boldsymbol{x}\) зі стандартної основи на нашу нову основу,\(\left\{b_{0}, b_{1}\right\}\). Зверніть увагу, що це абсолютно механічна процедура.

Розширення виміру та простору

Ми також можемо розширити всі ці ідеї минулого просто\(\mathbb{R}^2\) і подивитися на них в\(\mathbb{R}^n\) і\(\mathbb{C}^n\). Ця процедура, природно, поширюється на більш високі (> 2) розміри. З огляду на підставу\(\left\{b_{0}, b_{1}, \ldots, b_{n-1}\right\}\) для\(\mathbb{R}^n\), ми хочемо знайти\(\left\{\alpha_{0}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n-1}\right\}\) таке, що

\[\boldsymbol{x}=\alpha_{0} b_{0}+\alpha_{1} b_{1}+\ldots+\alpha_{n-1} b_{n-1} \label{15.55} \]

Знову налаштуємо базову матрицю

\ [B=\ left (\ begin {масив} {lllll}
b_ {0} & b_ {1} & b_ {2} &\ точки & b_ {n-1}
\ кінець {масив}\ праворуч)\ nonumber\]

де стовпці дорівнюють базисним векторам, і це завжди буде\(n \times n\) матриця (хоча наведена вище матриця не здається квадратною, оскільки ми залишили члени у векторних позначеннях). Потім ми можемо перейти до перезапису Рівняння\ ref {15.53}

\ [\ напівжирний символ {x} =\ лівий (\ почати {масив} {cccc}
b_ {0} & b_ {1} &\ ldots & b_ {n-1}
\ кінець {масив}\ справа)\ ліворуч (\ почати {масив} {c}
\ alpha_ {0}\
\ vdots\\
\ alpha_ {n-1}
\ кінець {масив}\ праворуч) =B\ напівжирний символ {\ альфа}\ nonumber\]

і

\[\boldsymbol{\alpha}=B^{-1} \boldsymbol{x} \nonumber \]