15.8: Типи основ

Нормована основа

Визначення: Нормалізована основа

Основа,\(\left\{b_{i}\right\}\) де кожен\(b_i\) має одиничну норму

\[\left\|b_{i}\right\|=1, \quad i \in \mathbb{Z} \nonumber \]

Примітка

Поняття базису застосовується до всіх векторних просторів (Розділ 15.2). Поняття нормованої основи застосовується тільки до нормованих просторів (Розділ 15.3).

Ви завжди можете нормалізувати основу: просто помножте кожен базисний вектор на константу, наприклад\(\frac{1}{\left\|b_{i}\right\|}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Нам дається наступна основа:

\ [\ лівий\ {b_ {0}, b_ {1}\ праворуч\} =\ лівий\ {\ лівий (\ begin {масив} {l}
1\
1
\ кінець {масив}\ праворуч),\ лівий (\ begin {масив} {c}
1
\
-1\ кінець {масив}\ праворуч\}\ nonumber\]

Нормалізується з\(\ell^{2}\) нормою:

\ [\ почати {масив} {c}
\ тильда {b} _ {0} =\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ лівий (\ початок {масив} {c}

1
\ кінець {масив}\ справа)\
\ тильда {b} _ {1} =\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ ліворуч (\ почати {масив} c}
1\\
-1
\ end {масив}\ справа)
\ end {масив}\ nonumber\]

Нормалізується з\(\ell^{1}\) нормою:

\ [\ begin {масив} {c}
\ тильда {b} _ {0} =\ frac {1} {2}\ лівий (\ begin {масив} {c}

1
\\ кінець {масив}\ праворуч)
\\ тильда {b} _ {1} =\ frac {1} {2}\ лівий (\ початок {масив} {c}
1\
-1
\ кінець {масив}\ праворуч)
\ кінець { масив}\ nonumber\]

Ортогональна основа

Ортогональна основа

базис {b i} b i, в якому елементи взаємно ортогональні

i, i ≠ j :( b i, b j = 0) i i j b i b j 0

Визначення: Ортогональна основа

Основа,\(\left\{b_{i}\right\}\) в якій елементи взаємно ортогональні

\[\left\langle b_{i}, b_{j}\right\rangle=0, \quad i \neq j \nonumber \]

Примітка

Поняття ортогональної основи застосовується тільки до гільбертових просторів (Розділ 15.4).

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Стандартна основа для\(\mathbb{R}^2\), також називається\(\ell^{2}([0,1])\):

\ [\ begin {масив} {l}
b_ {0} =\ left (\ begin {масив} {l}
1\\
0
\ кінець {масив}\ праворуч)\\
b_ {1} =\ left (\ begin {масив} {l}
0\
1
\ end {масив}\ праворуч)
\ кінець {масив}\ nonumber\]

\[\left\langle b_{0}, b_{1}\right\rangle=\sum_{i=0}^{1} b_{0}[i] b_{1}[i]=1 \times 0+0 \times 1=0 \nonumber \]

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Тепер у нас наступна основа і взаємозв'язок:

\ [\ лівий\ {\ лівий (\ begin {масив} {l}
1\
1
\ кінець {масив}\ праворуч),\ лівий (\ begin {масив} {c}
1
\
-1\ end {масив}\ праворуч\} =\ ліворуч\ {h_ {0}, h_ {1}\ праворуч\}\ nonumber\]

\[\left\langle h_{0}, h_{1}\right\rangle=1 \times 1+1 \times-1=0 \nonumber \]

Ортонормальна основа

Стягуючи попередні два розділи (визначення) воєдино, ми приходимо до найбільш важливого і корисного типу основи:

Визначення: Ортонормальна основа

Основа, яка є як нормованою, так і ортогональною

\[\left\|b_{i}\right\|=1, \quad i \in \mathbb{Z} \nonumber \]

\[\left\langle b_{i}, b_{j}\right\rangle \quad, \quad i \neq j \nonumber \]

Позначення:

Ми можемо скоротити ці два твердження в одне:

\[\left\langle b_{i}, b_{j}\right\rangle=\delta_{i j} \nonumber \]

де

\ [\ delta_ {i j} =\ left\ {\ begin {масив} {l}
1\ текст {якщо} i = j\\
0\ текст {якщо} i\ neq j
\ end {масив}\ право. \ номер\]

Де\(\delta_{i j}\) називається дельта-функцією Кронекера (Розділ 1.6) і також часто пишеться як\(\delta[i-j]\).

Ортонормальний приклад основи #1

\ [\ лівий\ {b_ {0}, b_ {2}\ праворуч\} =\ лівий\ {\ лівий (\ begin {масив} {l}
1\
0
\ кінець {масив}\ праворуч),\ лівий (\ begin {масив} {l}
0
\
1\ кінець {масив}\ праворуч\}\ nonumber\]

Ортонормальний приклад основи #2

\ [\ лівий\ {b_ {0}, b_ {2}\ праворуч\} =\ лівий\ {\ лівий (\ begin {масив} {l}
1\
1
\ кінець {масив}\ праворуч),\ лівий (\ begin {масив} {c}
1
\
-1\ кінець {масив}\ праворуч\}\ nonumber\]

Ортонормальний приклад основи #3

\ [\ ліворуч\ {b_ {0}, b_ {2}\ праворуч\} =\ ліворуч\ {\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ ліворуч (\ begin {масив} {l}

1
\ кінець {масив}\ праворуч),\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ лівий (\ почати {масив} {c}
1\
\
-1 кінець {масив}\ право)\ право\}\ nonumber\]

Краса ортонормальних основ

Ортонормальні основи дуже легко мати справу! Якщо\(\left\{b_{i}\right\}\) це ортонормальна основа, ми можемо написати для будь-якого\(x\)

\[x=\sum_{i} \alpha_{i} b_{i} \nonumber \]

Легко знайти\(\alpha_i\):

\ [\ почати {вирівняти}
\ лівий\ ланкут x, b_ {i}\ праворуч\ діапазон &=\ лівий\ ланкут\ сума {k}\ alpha_ {k} b_ {k}, b_ {i}\ правий\ діапазон\\ nonumber\\
&=\ сума {k}\ alpha_ {k}\ left\ langle\ left (b_ {k}, b _ {i}\ праворуч)\ праворуч\ діапазон
\ кінець {вирівняти}\ nonumber\]

де в наведеному вище рівнянні ми можемо використовувати наші знання про дельта-функцію для зменшення цього рівняння:

\ [\ begin {масив} {c}
\ лівий\ ланголь b_ {k}, b_ {i}\ право\ rangle=\ delta_ {i k} =\ лівий\ {\ begin {масив} {l}
1\ текст {якщо} i\\
0\ текст {якщо} i\ neq k
\ end {масив}\ праворуч. \\
\ ліворуч\ лангле x, b_ {i}\ праворуч\ rangle=\ alpha_ {i}
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Тому можна зробити висновок наступне важливе рівняння для\(x\):

\[x=\sum_{i}\left\langle\left(x, b_{i}\right)\right\rangle b_{i} \nonumber \]

\(\alpha_i\)Це легко обчислити (немає взаємодії між\(b_i\) собою)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

З огляду на наступну основу:

\ [\ лівий\ {b_ {0}, b_ {1}\ право\} =\ ліворуч\ {\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ лівий (\ початок {масив} {c}

1
\ кінець {масив}\ праворуч),\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ лівий (\ почати {масив} {c}
1\
\
-1 кінець {масив}\ право)\ право\}\ nonumber\]

представляти\ (x=\ left (\ begin {масив} {l}
3\\
2
\ end {масив}\ праворуч)\)

Приклад\(\PageIndex{5}\): Slightly Modified Fourier Series

Нам дається основа

\[\left.\left\{\frac{1}{\sqrt{T}} e^{j \omega_{0} n t}\right\}\right|_{n=-\infty} ^{\infty} \nonumber \]

на\(L^2([0,T])\) де\(T=\frac{2 \pi}{\omega_0}\).

\[f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left\langle\left(f, e^{j \omega_{0} n t}\right)\right\rangle e^{j \omega_{0} n t} \frac{1}{\sqrt{T}} \nonumber \]

Де ми можемо обчислити вищевказаний внутрішній продукт у\(L^2\) вигляді

\[\left\langle f, e^{j \omega_{0} n t}\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{T}} \int_{0}^{T} f(t) \overline{e^{j \omega_{0} n t}} \mathrm{d} t=\frac{1}{\sqrt{T}} \int_{0}^{T} f(t) e^{-\left(j \omega_{0} n t\right)} \mathrm{d} t \nonumber \]

Ортонормальні базисні розширення в гільбертовому просторі

\(\left\{b_{i}\right\}\)Дозволяти бути ортонормальною основою для гільбертового простору\(H\). Тоді для будь-якого\(x \in H\) ми можемо написати

\[x=\sum_{i} \alpha_{i} b_{i} \nonumber \]

де\(\alpha_{i}=\left\langle x, b_{i}\right\rangle\).

• «Аналіз»: розкладається\(x\) в терміні\(b_i\)

  \[\alpha_{i}=\left\langle x, b_{i}\right\rangle \nonumber \]

• «Синтез»:\(x\) нарощування з зваженої комбінації\(b_i\)

  \[x=\sum_{i} \alpha_{i} b_{i} \nonumber \]