15.7: Загальні гільбертові простори

Last updated
Save as PDF

Page ID: 34260

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Загальні гільбертові простори

Нижче ми розглянемо чотири найпоширеніші гільбертові простори (Розділ 15.4), з якими вам доведеться мати справу при обговоренні та маніпулюванні сигналами та системами.

\(\mathbb{R}^n\)(Реальні скаляри) і\(\mathbb{C}^n\) (складні скаляри), також звані\(\ell^{2}([0, n-1])\)

\ (\ напівжирний символ {x} =\ left (\ begin {масив} {c}
x_ {0}\\
x_ {1}\
\ dots\\
x_ {n-1}
\ end {масив}\ справа)\) - список чисел (скінченна послідовність). Внутрішній продукт (Розділ 15.4) для наших двох просторів виглядає наступним чином:

Стандартний внутрішній продукт\(\mathbb{R}^n\):
\ begin {вирівнювання}
\ лангове\ напівжирний символ {x},\ напівжирний символ {y}\ діапазон &=\ напівжирний символ {y} ^ {T}\ напівжирний символ {x}\ nonumber\\
&=\ sum_ {i = 0} ^ {n-1} x_ {i} y_ {i} y_ {i}
\ кінець {вирівнювання}
Стандартний внутрішній продукт\(\mathbb{C}^n\):
\ [\ почати {вирівнювання}
\ лангове\ напівжирний символ {x},\ напівжирний символ {y}\ діапазон &=\ накладання {\ напівжирний символ {y} ^ {T}}\ напівжирний символ {x}\ nonumber\\
&=\ sum_ {i = 0} ^ {n-1} x_ {i}\ бар {y} _ {i}
\ кінець {вирівнювання} номер\]

Модель для: дискретних часових сигналів на інтервалі\([0,n−1]\) або періодичних (з періодом\(n\)) дискретних часових сигналів. \ [\ left (\ begin {масив} {c}
x_ {0}\\
x_ {1}\
\ точки\\
x_ {n-1}
\ кінець {масив}\ праворуч)\ nonumber\]

\( f \in L^2 ([a,b])\)є кінцевою енергетичною функцією на\([a,b]\)

Внутрішній продукт

\[\langle f, g\rangle=\int_{a}^{b} f(t) \overline{g(t)} \mathrm{d} t \nonumber \]

Модель для: безперервних сигналів часу на інтервалі\([a,b]\) або періодичних (з періодом\(T=b−a\)) сигналів безперервного часу

\(x \in \ell^{2}(\mathbb{Z})\)це нескінченна послідовність чисел, що квадратно підсумовуються

Внутрішній продукт

\[\langle x, y\rangle=\sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \overline{y[i]} \nonumber \]

Модель для: дискретного часу, неперіодичних сигналів

\(f \in L^{2}(\mathbb{R})\)є кінцевою енергетичною функцією на всіх\(\mathbb{R}\).

Внутрішній продукт

\[\langle f, g\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \overline{g(t)} \mathrm{d} t \nonumber \]

Модель для: безперервного часу, неперіодичних сигналів

Пов'язаний аналіз Фур'є

Кожен з цих 4 гільбертових просторів має тип аналізу Фур'є, пов'язаний з ним.

\(L^2([a,b])\)→ Ряди Фур'є
\(\ell^{2}([0, n-1])\)→ Дискретне перетворення Фур'є
\(L^{2}(\mathbb{R})\)→ Перетворення Фур'є
\(\ell^{2}(\mathbb{Z})\)→ Дискретне час перетворення Фур'є

Але всі 4 з них засновані на одних і тих же принципах (гільбертовому просторі).

Важливе зауваження

Не всі нормовані простори є гільбертовими просторами

Наприклад:\(L^1(\mathbb{R})\),\(\|f\|_{1}=\int|f(t)| d t\). Намагайтеся, як ви могли б, ви не можете знайти внутрішній продукт, який спонукає цю норму, тобто\(\langle\cdot, \cdot\rangle\) такий, що

\ [\ почати {вирівняти}
\ кут f, f\ діапазон &=\ лівий (\ int (|f (t) |) ^ {2}\ mathrm {d} t\ праворуч) ^ {2}\ nonumber\
&=\ ліворуч (\ |f\ |_ {1}\ праворуч) ^ {2}
\ кінець {вирівнювання}\ nonumber\]

Насправді, з усіх\(L^p(\mathbb{R})\) просторів,\(L^2(\mathbb{R})\) є єдиним, що є гільбертовим простором.

Гільбертові простори на сьогоднішній день найприємніші. Якщо ви використовуєте або вивчаєте ортонормальне розширення основи (Розділ 15.9), то ви почнете розуміти, чому це правда.