15.5: Гільбертові простори

Last updated
Save as PDF

Page ID: 34240

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Гільбертові простори

Векторний простір\(S\) з визначеним на ньому дійсним внутрішнім добутком (Розділ 15.4) називається внутрішнім простором добутку, який також є нормованим лінійним простором. Гільбертовий простір - це внутрішній простір продукту, який є повним щодо норми, визначеної за допомогою внутрішнього продукту. Гільбертові простори названі на честь Девіда Гільберта, який розвинув цю ідею через свої дослідження інтегральних рівнянь. Ми визначаємо нашу дійсну норму, використовуючи внутрішній продукт як:

\[\|\boldsymbol{x}\|=\sqrt{\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle} \nonumber \]

Гільбертові простори корисні при вивченні і узагальненні понять розширення Фур'є, перетворення Фур'є, і дуже важливі для вивчення квантової механіки. Гільбертові простори вивчаються в галузі функціонального аналізу математики.

Приклади гільбертових просторів

Нижче ми перерахуємо кілька прикладів гільбертових просторів. Ви можете переконатися, що це дійсні внутрішні продукти вдома.

Для\(\mathbb{C}^n\),
\ [\ лангл\ напівжирний символ {x},\ напівжирний символ {y}\ діапазон =\ напівжирний символ {y} ^ {T}\ напівжирний символ {x} =\ лівий (\ overline {y_ {0}}\ quad\ overline {y_ {1}}\ quad\ ldots\ quad\ overline {y_ {n-1}} {масив} {c}
x_ {0}\\
x_ {1}\
\ vdots\\
x_ {n-1}
\ end {масив}\ право) =\ sum_ {i=0} ^ {n-1} x_ {i}\ overline {y_ {i}}\ nonumber\]
Простір функцій скінченного енергетичного комплексу:\(L^{2}(\mathbb{R})\)
\[\langle \boldsymbol{f}, \boldsymbol{g} \rangle=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \overline{g(t)} \mathrm{d} t \nonumber \]
Простір послідовностей, що підсумовуються за квадратом:\(\ell^{2}(\mathbb{Z})\)
\[\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle=\sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \overline{y[i]} \nonumber \]