Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

15.4: Внутрішні продукти

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    34253

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Визначення: Внутрішній продукт

    Можливо, ви зіткнулися з внутрішніми продуктами, які також називаються точковими продуктами,\(\mathbb{R}^n\) раніше в деяких з ваших курсів математики або науки. Якщо ні, ми визначаємо внутрішній продукт наступним чином, враховуючи, що у нас є деякі\(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}\) і\(\boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^{n}\).

    Визначення: Стандартний внутрішній продукт

    Стандартний внутрішній виріб визначається математично як:

    \ [\ почати {вирівняний}
    \ лангл\ напівжирний символ {x},\ напівжирний символ {y}\ діапазон &=\ напівжирний символ {y} ^ {T}\ напівжирний символ {x}\\
    &=\ лівий (\ begin {масив} {cccc}
    y_ {0} & y_ {1} & y_ {1} & y_ {n-1}
    \ кінець {масив}\ право)\ ліворуч (\ begin {масив} {c}
    x_ {0}\\
    x_ {1}\
    \ vdots\\
    x_ {n-1}
    \ кінець {масив}\ праворуч)\\
    &=\ sum_ {i = 0} ^ {n-1} x_ {i} y_ {i}
    \ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

    Внутрішній продукт в 2-D

    Якщо у нас є\(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^2\) і\(\boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^2\), то ми можемо написати внутрішній продукт як

    \[\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle=\|\boldsymbol{x}\|\|\boldsymbol{y}\| \cos (\theta) \nonumber \]

    де\(\theta\) - кут між\(\boldsymbol{x}\) і\(\boldsymbol{y}\).

    Рисунок\(\PageIndex{1}\): Загальний графік векторів та кута, згаданих у вищезгаданих рівняннях.

    Геометрично внутрішній виріб говорить нам про силу\(\boldsymbol{x}\) в сторону\(\boldsymbol{y}\).

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Наприклад, якщо\(\|x\|=1\), то

    \[<x, y>=\|y\| \cos (\theta) \nonumber \]

    Малюнок\(\PageIndex{2}\): Графік двох векторів з наведеного вище прикладу.

    Внутрішнім продуктом виявляються наступні характеристики:

    • \(\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle\)вимірює довжину проекції\(\boldsymbol{y}\) на\(\boldsymbol{x}\).
    • \(\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle\)максимальні (для даного\(\|\boldsymbol{x}\|\),\(\|\boldsymbol{y}\|\)) коли\(\boldsymbol{x}\) і\(\boldsymbol{y}\) знаходяться в одному напрямку (\((\theta=0) \Rightarrow(\cos (\theta)=1)\)).
    • \(\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle\)дорівнює нулю\((\cos (\theta)=0) \Rightarrow\left(\theta=90^{\circ}\right)\), коли, тобто\(\boldsymbol{x}\) і\(\boldsymbol{y}\) ортогональні.

    Правила внутрішнього продукту

    Загалом, внутрішній добуток на складному векторному просторі - це всього лише функція (взяття двох векторів і повернення комплексного числа), яка задовольняє певним правилам:

    • Спряжена симетрія:\[\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle=\overline{\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle} \nonumber \]
    • Масштабування:\[\langle\alpha \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \rangle=\alpha\langle(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})\rangle \nonumber \]
    • Аддитивність:\[\langle \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}, \boldsymbol{z} \rangle=\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{z}\rangle+\langle \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}\rangle \nonumber \]
    • «Позитивність»:\[\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x} \rangle >0, \boldsymbol{x} \neq 0 \nonumber \]

    Визначення: Ортогональний

    Ми говоримо, що\(\boldsymbol{x}\) і\(\boldsymbol{y}\) є ортогональними, якщо:

    \[\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle=0 \nonumber \]