Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

15.3: Норми

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    34261

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Вступ

    Цей модуль пояснить норми, математичне поняття, яке забезпечує поняття розміру вектора. Зокрема, буде обговорено загальне визначення норми та представлені норми дискретних часових сигналів.

    Норми

    Норма вектора - це дійсне число, яке представляє «розмір» вектора.

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    В\(\mathbb{R}^2\), ми можемо визначити норму, щоб бути вектори геометричної довжини.

    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    \(\boldsymbol{x}=(x_0,x_1)^T\), норма\(\|\boldsymbol{x}\|=\sqrt{x_{0}^{2}+x_{1}^{2}}\)

    Математично норма\(\|\cdot\|\) - це всього лише функція (взяття вектора і повернення дійсного числа), яка задовольняє трьом правилам.

    Щоб бути нормою,\(\|\cdot\|\) повинні задовольняти:

    1. норма кожного вектора позитивна\(\|x\|>0\),\(x \in S\)
    2. масштабування вектора масштабує норму на однакову величину\(\|\alpha x\|=|\alpha|\|x\|\) для всіх векторів\(x\) і скалярів\(\alpha\)
    3. Трикутник Властивість:\(\|x+y\| \leq\|x\|+\|y\|\) для всіх векторів\(x\),\(y\). ««Розмір» суми двох векторів менше або дорівнює сумі їх розмірів»

    Векторний простір (Розділ 15.2) з чітко визначеною нормою називається нормованим векторним простором або нормованим лінійним простором.

    Приклади

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    \(\mathbb{R}^n\)(або\(\mathbb{C}^n\)),\ (\ жирний символ {x} =\ left (\ begin {масив} {c}
    x_ {0}\\
    x_ {1}\\ dots
    \\
    x_ {\ x_ {n-1}
    \ end {масив}\ право)\)\(\|x\|_{1}=\sum_{i=0}^{n-1}\left|x_{i}\right|\),\(\mathbb{R}^n\) з цією нормою називається\(\ell^{1}([0, n-1])\).

    Малюнок\(\PageIndex{2}\): Колекція всіх\(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^2\) з\(\|x\|_{1}=1\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    \(\mathbb{R}^n\)(Або\(\mathbb{C}^n\)), з нормою\(\|x\|_{2}=\left(\sum_{i=0}^{n-1}\left(\left|x_{i}\right|\right)^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\),\(\mathbb{R}^n\) називається\(\ell^{2}([0, n-1])\) (звичайна «евклідова» норма).

    Малюнок\(\PageIndex{3}\): Колекція всіх\(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{2}\) з\(\|x\|_{2}=1\)

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    \(\mathbb{R}^n\)(Або\(\mathbb{C}^n\)), з нормою\(\|x\|_{\infty}=\max _{i}\left\{i,\left|x_{i}\right|\right\}\) називається\(\ell^{\infty}([0, n-1])\)

    Малюнок\(\PageIndex{4}\):\(x \in \mathbb{R}^2\) з\(\|x\|_{\infty}=1\)

    Простіри послідовностей і функцій

    Ми можемо визначити подібні норми для просторів послідовностей і функцій.

    Дискретні сигнали часу = послідовності чисел

    \[x[n]=\left\{\ldots, x_{-2}, x_{-1}, x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots\right\} \nonumber \]

    • \(\|x(n)\|_{1}=\sum_{i=-\infty}^{\infty}|x[i]|, x[n] \in \ell^{1}(\mathbb{Z}) \Rightarrow\left(\|x\|_{1}<\infty\right)\)
    • \(\|x(n)\|_{2}=\left(\sum_{i=-\infty}^{\infty}(|x[i]|)^{2}\right)^{\frac{1}{2}}, x[n] \in \ell^{2}(\mathbb{Z}) \Rightarrow\left(\|x\|_{2}<\infty\right)\)
    • \(\|x(n)\|_{p}=\left(\sum_{i=-\infty}^{\infty}(|x[i]|)^{P}\right)^{\frac{1}{p}}, x[n] \in \ell^{p}(\mathbb{Z}) \Rightarrow\left(\|x\|_{p}<\infty\right)\)
    • \(\|x(n)\|_{\infty}=\sup _{i}|x[i]|, x[n] \in \ell^{\infty}(\mathbb{Z}) \Rightarrow\left(\|x\|_{\infty}<\infty\right)\)

    Для функцій безперервного часу:

    • \(\|f(t)\|_{p}=\left(\int_{-\infty}^{\infty}(|f(t)|)^{p} d t\right)^{\frac{1}{p}}, f(t) \in L^{p}(\mathbb{R}) \Rightarrow\left(\|f(t)\|_{p}<\infty\right)\)
    • \(\|f(t)\|_{p}=\left(\int_{0}^{T}(|f(t)|)^{p} d t\right)^{\frac{1}{p}}, f(t) \in L^{p}([0, T]) \Rightarrow\left(\|f(t)\|_{p}<\infty\right)\)