Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

15.2: Векторні простори

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    34245

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Вступ

    Визначення: Векторний простір

    Векторний простір\(S\) являє собою сукупність «векторів» таких, що (1) if\(f_{1} \in S \Rightarrow \alpha f_{1} \in S\) для всіх скалярів\(\alpha\) (де\(alpha \in \mathbb{R}\)\(\alpha \in \mathbb{C}\), або якогось іншого поля) і (2)\(f_{1} \in S\) if\(f_2 \in S\), то\((f_1+f_2) \in S\)

    Для визначення векторного простору нам знадобиться

    • Набір речей під назвою «vectors» (\(X\))
    • Набір речей, які називаються «скалярами», які утворюють поле (\(A\))
    • Операція додавання векторів ()
    • Операція скалярного множення (\(*\))

    Операції повинні мати всі властивості, наведені нижче. Закриття, як правило, є найважливішим для показу.

    Векторні простори

    Якщо скаляри\(\alpha\) дійсні,\(S\) називається реальним векторним простором.

    Якщо скаляри\(\alpha\) складні,\(S\) називається складним векторним простором.

    Якщо «вектори» в\(S\) є функціями неперервної змінної, ми іноді називаємо\(S\) лінійний простір функцій

    Властивості

    Ми визначаємо множину\(V\), щоб бути векторним простором, якщо

    1. \(x+y=y+x\)для кожного\(x\) і\(y\) в\(V\)
    2. \(x+(y+z)=(x+y)+z\)для кожного\(x\)\(y\), і\(z\) в\(V\)
    3. Існує унікальний «нульовий вектор» такий, що\(x+0=x\) для кожного\(x\) in\(V\) (0 - поле аддитивної ідентичності)
    4. Для кожного\(x\) в\(V\) є свій унікальний вектор\(−x\) такий, що\(x+−x=0\)
    5. \(1x=x\)(1 - поле мультиплікативної ідентичності)
    6. \((c_1c_2)x=c_1(c_2x)\)для кожного\(x\) в\(V\)\(c_1\) і\(c_2\) в\(\mathbb{C}\)
    7. \(c(x+y)=cx+cy\)для кожного\(x\) і\(y\) в\(V\) і\(c\) в\(\mathbb{C}\)
    8. \((c_1+c_2)x=c_1x+c_2x\)для кожного\(x\) в\(V\)\(c_1\) і\(c_2\) в\(\mathbb{C}\)

    Приклади

    • \(\mathbb{R}^n\)= реальний векторний простір
    • \(\mathbb{C}^n\)= складний векторний простір
    • \(L^{1}(\mathbb{R})=\left\{f(t), f(t) | \int_{-\infty}^{\infty}\left| f(t) \right| \mid d t<\infty\right\}\)є векторним простором
    • \(L^{\infty}(\mathbb{R})=\{f(t), f(t) \mid f(t) \text { is bounded }\}\)є векторним простором
    • \(L^{2}(\mathbb{R})=\left\{f(t), f(t) | \int_{-\infty}^{\infty}(|f(t)|)^{2} d t<\infty\right\}\)= сигнали скінченної енергії є векторним простором
    • \(L^{2}([0, T])\)= функції скінченної енергії на інтервалі\([0,T]\)
    • \(\ell^{1}(\mathbb{Z})\),\(\ell^{2}(\mathbb{Z})\),\(\ell^{\infty}(\mathbb{Z})\) є векторними просторами
    • Колекція функцій кусково-постійної між цілими числами є векторним простором

    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    • \ (\ mathbb {R} _ {+} ^ {2} =\ лівий\ {\ лівий (\ почати {масив} {l}
      x_ {0}\
      x_ {1}\ кінець {масив}
      \ праворуч),\ лівий (\ початок {масив} {l} x_ {0}\
      x_ {1}\
      кінець {масив}
      \ праворуч)\ середина\ ліворуч (x_ {0}} >0\ праворуч)\ клин\ ліворуч (x_ {1} >0\ праворуч)\ праворуч\ }\) не є векторним простором. \ (\ лівий (\ begin {масив} {l}
      1\
      1
      \ кінець {масив}\ праворуч)\ in\ mathbb {R} _ {+} ^ {2}\), але\ (\ альфа\ ліворуч (\ begin {масив} {l} {l}

      1
      \ end {масив}\ праворуч)\ notin\ mathbb {R} _ {+} ^ {2}\),\(\alpha < 0\)
    • \(D=\left\{z \in \mathbb{C},|z| \leq 1\right\}\)не є векторним простором. \(\left(z_{1}=1\right) \in D\),\((z_2=j) \in D\), але\(\left(z_{1}+z_{2}\right) \notin D\),\(\left|z_{1}+z_{2}\right|=\sqrt{2}>1\)

    Примітка

    Векторні простори можуть бути колекціями функцій, колекціями послідовностей, а також колекціями традиційних векторів (тобто кінцевих списків чисел)