15.1: Поля та комплексні числа
- Page ID
- 34256
Поля
Для правильного обговорення поняття векторних просторів в лінійній алгебрі необхідно розробити поняття множини «скалярів», на які ми дозволяємо множити вектор. Бажані рамки, в які вписувалася б наша концепція дійсних чисел. Таким чином, ми хотіли б набір з двома асоціативними, комутативними операціями (як стандартне додавання та множення) та поняттям їх обернених операцій (наприклад, віднімання та ділення). Математична алгебраїчна конструкція, яка вирішує цю ідею, є полем. Поле (\(S,+,*\)) - це множина\(S\) разом з двома двійковими операціями\(+\) і\(*\) така, що задовольняються наступні властивості.
- Закриття S під\(+\): Для кожного\(x\),\(y \in S\),\(x+y \in S\).
- Асоціативність S під\(+\): Для кожного\(x,y,z \in S\),\((x+y)+z=x+(y+z)\).
- Існування елемента\(+\) ідентичності: Є\(e_+ \in S\) таке, що для кожного\(x \in S\),\(e_+ + x = x+e_+=x\).
- Існування\(+\) зворотних елементів: Для кожного\(x \in S\) є\(y \in S\) таке, що\(x+y=y+x=e_+\).
- Комутативність S під\(+\): Для кожного\(x,y \in S\),\(x+y=y+x\).
- Закриття S під\(*\): Для кожного\(x,y \in S\),\(x*y \in S\).
- Асоціативність S під\(*\): Для кожного\(x,y,z \in S\),\((x*y)*z=x*(y*z)\).
- Існування елемента\(*\) ідентичності: Є\(e_* \in S\) таке, що для кожного\(x \in S\),\(e_*+x=x+e_*=x\).
- Існування\(*\) зворотних елементів: Для кожного\(x \in S\) з\(x \neq e_{+}\) є\(y \in S\) таке, що\(x*y=y*x=e_*\).
- Комутативність S під\(*\): Для кожного\(x,y \in S\),\(x*y=y*x\).
- Розподіл\(*\) над\(+\): Для кожного\(x,y,z \in S\),\(x*(y+z)=xy+xz\).
Хоча це визначення є досить загальним, два поля, які найчастіше використовуються при обробці сигналів, принаймні в межах цього курсу, є дійсними числами та комплексними числами, кожне зі своїми типовими операціями додавання та множення.
Комплексне поле
Читач, безсумнівно, вже досить добре знайомий з дійсними числами з типовими операціями додавання і множення. Однак поле комплексних чисел з типовими операціями додавання і множення може бути незнайомим деяким. З цієї причини та її важливості для обробки сигналів тут заслуговує короткого пояснення.
Визначення
Поняття квадратного кореня\(-1\) виникло з квадратичною формулою: розв'язання деяких квадратних рівнянь математично існує лише в тому випадку, якщо можна\(\sqrt{-1}\) було визначити так звану уявну величину. Ейлер вперше використовувався\(i\) для уявної одиниці, але це позначення не трималося приблизно до часу Ампера. Ампер використовував символ\(i\) для позначення струму (напруженість струму). Лише у двадцятому столітті важливість складних чисел для теорії схем стала очевидною. На той час використання\(i\) для струму закріпилося і інженери електрики тепер вибирають\(j\) для написання складних чисел.
Уявне число має вигляд\(j b=\sqrt{-b^{2}}\). Комплексне число\(z\), складається з впорядкованої пари\((a,b)\),\(a\) є дійсною складовою і\(b\) є уявною складовою (\(j\)придушується, оскільки уявна складова пари завжди знаходиться у другій позиції). Уявне число\(jb\) дорівнює\((0,b)\). Зверніть увагу, що\(a\) і\(b\) є дійсними числами.
Малюнок\(\PageIndex{1}\) показує, що ми можемо знайти комплексне число в тому, що ми називаємо комплексною площиною. Тут реальна частина - це\(x\) координата\(b\), а уявна частина\(y\) - координата.\(a\)
З аналітичної геометрії ми знаємо, що місця в площині можуть бути виражені як сума векторів, з векторами, відповідними\(x\)\(y\) напрямкам і. Отже, комплексне число\(z\) може бути виражено у вигляді (векторної) суми,\(z=a+jb\) де\(j\) вказується\(y\) -координата. Це подання відоме як декартова форма\(\mathbf{z}\). Уявне число не може бути чисельно додано до дійсного числа; скоріше, це позначення для комплексного числа являє собою векторне додавання, але воно забезпечує зручне позначення, коли ми виконуємо арифметичні маніпуляції.
Реальна частина комплексного числа\(z=a+jb\), записана як\(\operatorname{Re}(z)\), дорівнює\(a\). Ми розглядаємо дійсну частину як функцію, яка працює шляхом вибору тієї складової комплексного числа, не помноженого на\(j\). Уявна частина\(z\)\(\operatorname{Im}(z)\), дорівнює\(b\): та частина комплексного числа, яка множиться на\(j\). Знову ж таки, як дійсна, так і уявна частини комплексного числа є реальними.
Складний сполучений з\(z\), написаний як\(z^{*}\), має ту ж реальну частину, що і уявна частина протилежного знака.\(z\)
\ [\ почати {вирівняти}
z &=\ ім'я оператора {Re} (z) +j\ ім'я оператора {Im} (z)\ номер\
z^ {*} &=\ ім'я оператора {Re} (z) -j\ ім'я оператора {Im} (z)
\ end {вирівняти}\ номер\]
Використовуючи декартові позначення, такі властивості легко слідують.
- Якщо скласти два комплексних числа, дійсна частина результату дорівнює сумі дійсних частин, а уявна частина дорівнює сумі уявних частин. Це властивість випливає із законів векторного додавання.
\[a_{1}+j b_{1}+a_{2}+j b_{2}=a_{1}+a_{2}+j\left(b_{1}+b_{2}\right) \nonumber \]
Таким чином реальна і уявна частини залишаються окремими. - Добуток\(j\) і дійсного числа - це уявне число:\(ja\). Добуток\(j\) і уявне число є дійсним числом:\(j(jb)=−b\) тому що\(j^2=-1\). Отже, множення комплексного числа на\(j\) поворот позиції числа на\(90\) градуси.
Вправа\(\PageIndex{1}\)
Використовуйте визначення додавання, щоб показати, що дійсна і уявна частини можуть бути виражені у вигляді сума/різниці комплексного числа та його сполучених. \(\operatorname{Re}(z)=\frac{z+z^{*}}{2}\)і\(\operatorname{Im}(z)=\frac{z-z^{*}}{2 j}\)
- Відповідь
-
\(z+\bar{z}=a+j b+a-j b=2 a=2 \operatorname{Re}(z)\). Аналогічним чином\(z-\bar{z}=a+j b-(a-j b)=2 j b=2(j, \operatorname{Im}(z))\)
Комплексні числа також можуть бути виражені в альтернативній формі, полярної формі, яка нам буде досить корисною. Полярна форма виникає з геометричної інтерпретації складних чисел. Декартова форма комплексного числа може бути переписана як
\[a+j b=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\left(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}+j \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right) \nonumber \]
Формуючи прямокутний трикутник\(b\), що має сторони\(a\) і, ми бачимо, що дійсна і уявна частини відповідають косинусу і синусу базового кута трикутника. Таким чином ми отримуємо полярну форму для комплексних чисел.
\ [\ почати {масив} {l}
z=a+j b = r\ кут\ тета\\ r =
|z|z|=\ sqrt {a^ {2} +b^ {2}}\\
a=r\ cos (\ тета)\\
b=r\ sin (\ тета)\\ тета =\
\ тета =\ арктан\ лівий (\ frac {b} {a}\ правий кінець)
\ {масив}\ nonumber\]
Величина\(r\) відома як величина комплексного числа\(z\), і часто записується як\(|z|\). Величина\(\theta\) - це кут комплексного числа. Використовуючи формулу дугового тангенса для пошуку кута, ми повинні враховувати квадрант, в якому лежить комплексне число.
Вправа\(\PageIndex{2}\)
Перетворення\(3-2j\) в полярну форму.
- Відповідь
-
\(3−2j\)Щоб перетворити в полярну форму, ми спочатку знаходимо число в комплексній площині в четвертому квадранті. Відстань від початку до комплексного числа - це величина\(r\), яка дорівнює\(\sqrt{13}=\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}}\). Кут дорівнює\(-\arctan \left(\frac{2}{3}\right)\) або\(−0.588\) радіани (\(−33.7\)градуси). Остаточна відповідь -\(\sqrt{13} \angle (-33.7)\) градуси.
Формула Ейлера
Дивно, але полярну форму комплексного числа\(z\) можна виразити математично як
\[z = r ^{j \theta} \nonumber \]
Щоб показати цей результат, ми використовуємо відносини Ейлера, які виражають експоненціальні числа з уявними аргументами в терміні тригонометричних функцій.
\[e^{j \theta}=\cos (\theta)+j \sin (\theta) \label{15.3} \]
\[\cos (\theta)=\frac{e^{j \theta}+e^{-(j \theta)}}{2} \label{15.4} \]
\[\sin (\theta)=\frac{e^{j \theta}-e^{-(j \theta)}}{2 j} \nonumber \]
Перший з них легко виводиться з серії Тейлора для експоненціальної.
\[e^{x}=1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\ldots \nonumber \]
Підставляючи\(j \theta\)\(x\), ми знаходимо, що
\[e^{j \theta}=1+j \frac{\theta}{1 !}-\frac{\theta^{2}}{2 !}-j \frac{\theta^{3}}{3 !}+\ldots \nonumber \]
тому що\(j^2=-1\),\(j^3=-j\), і\(j^4=1\). Групування окремо дійсних і уявно-значущих термінів,
\[e^{j \theta}=1-\frac{\theta^{2}}{2 !}+\cdots+j\left(\frac{\theta}{1 !}-\frac{\theta^{3}}{3 !}+\ldots\right) \nonumber \]
Реальні терміни відповідають ряду Тейлора для\(\cos(\theta)\), уявних і результатів першого відношення Ейлера.\(\sin(\theta)\) Решта відносини легко виводяться з перших. Ми бачимо, що множення експоненції в Equation\ ref {15.3} на дійсну константу відповідає встановленню радіуса комплексного числа на константу.
Обчислення комплексними числами
Додавання та віднімання складних чисел, виражених у декартовій формі, досить просто: ви додаєте (віднімаєте) дійсні частини та уявні частини окремо.
\[z_{1} \pm z_{2}=\left(a_{1} \pm a_{2}\right)+j\left(b_{1} \pm b_{2}\right) \nonumber \]
Помножити два комплексних числа в декартовій формі не так просто, але випливає безпосередньо з дотримання звичних правил арифметики.
\ [\ почати {вирівняти}
z_ {1} z_ {2} &=\ лівий (a_ {1} +j b_ {1}\ праворуч)\ лівий (a_ {2} +j b_ {2}\ праворуч)\ номер\\
&=a_ {1} a_ {2} -b_ {1} b_ {2} b_ {2} +j\ ліворуч (a_ {1} b_ {2} +a_ {2} b_ {1}\ праворуч)
\ кінець {вирівнювання}\ nonumber\]
Зверніть увагу, що ми в певному сенсі множимо два вектори, щоб отримати інший вектор. Комплексна арифметика забезпечує унікальний спосіб визначення векторного множення.
Вправа\(\PageIndex{3}\)
Що таке добуток комплексного числа і його сполучений?
- Відповідь
-
\(z \bar{z}=(a+j b)(a-j b)=a^{2}+b^{2}\). Таким чином\(z \bar{z}=r^{2}=(|z|)^{2}\).
Розподіл вимагає математичних маніпуляцій. Переводимо задачу ділення в задачу множення шляхом множення чисельника і знаменника на сполучений знаменник.
\ [\ почати {вирівнювання}
\ розрив {z_ {1}} {z_ {2}} &=\ розрив {a_ {1} +j b_ {1}} {a_ {2} +j b_ {2}}\ номер\\
&=\ розрив {a_ {1} +j b_ {1}} {a_ {1}} {a_ {2} +j {2} +J}}\ розрив {a_ {2} -j b_ {2}} {a_ {2} -j b_ {2}}\ номер\
&=\ розриву {\ ліворуч (a_ {1} +j b_ {1}\ праворуч)\ ліворуч (a_ {2} -j b_ {2}\ праворуч)} {a_ {2} ^ {2} +b _ {2} ^ {2}} \ номер\\
&=\ розрив {a_ {1} a_ {2} +b_ {1} b_ {2} +j\ лівий (a_ {2} b_ {1} -a_ {1} b_ {2}\ праворуч)} {a_ {2} ^ {2} +b_ {2} ^ {2}}
\ кінець {вирівнювання}\ номер\]
Оскільки кінцевий результат настільки складний, краще запам'ятати, як виконувати ділення - множення чисельника та знаменника на складний сполучений знаменник - ніж намагатися запам'ятати кінцевий результат.
Властивості експоненціальної значно спрощують обчислення добутку і співвідношення двох комплексних чисел, коли числа виражаються в полярній формі.
\ [\ почати {вирівняти}
z_ {1} z_ {2} &=r_ {1} e^ {j\ theta_ {1}} r_ {2} e^ {j\ theta_ {2}}\ номер\
&=r_ {1} r_ {2} e^ {j\ left (\ theta_ {1} +\ theta_ {2} праворуч)}
\ кінець {вирівняти}\ nonumber\]
\[\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1} e^{j \theta_{2}}}{r_{2} e^{j \theta_{2}}}=\frac{r_{1}}{r_{2}} e^{j\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)} \nonumber \]
Для множення радіус дорівнює добутку радіусів, а кут - сумі кутів. Для поділу радіус дорівнює відношенню радіусів, а кут різниці кутів. Коли вихідні комплексні числа знаходяться в декартовій формі, зазвичай варто перевести в полярну форму, потім виконати множення або ділення (особливо в разі останнього). Додавання і віднімання полярних форм означає перетворення в декартову форму, виконання арифметичної операції та перетворення назад в полярну форму.