Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

14.5: власні функції систем LTI

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    34266

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Вступ

    Сподіваємось, ви знайомі з поняттям власних векторів «матричної системи», якщо не вони роблять швидкий огляд власних речей (Розділ 14.4). Ми можемо розробити ті ж ідеї для систем LTI, що діють на сигнали. Лінійна інваріантна система часу (LTI), що\(\mathcal{H}\) працює на безперервному вході\(f(t)\) для отримання безперервного виходу часу\(y(t)\)

    \[\mathcal{H}[f(t)]=y(t) \nonumber \]

    Малюнок\(\PageIndex{1}\):\(\mathcal{H}[f(t)]=y(t)\). \(f\)і\(t\) є сигналами безперервного часу (КТ) і\(\mathcal{H}\) є оператором LTI.

    математично аналогічний\(N\times N\) матриці, що\(A\) працює на векторі для\(\boldsymbol{x} \in \mathbb{C}^{N}\) створення іншого вектора\(\boldsymbol{b} \in \mathbb{C}^{N}\) (див. Матриці та системи LTI для огляду).

    \[\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} \nonumber \]

    Малюнок\(\PageIndex{2}\):\(A \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\) де\(\boldsymbol{x}\) і\(\boldsymbol{b}\) знаходяться в\(\mathbb{C}^n\) і\(\boldsymbol{A}\) є\(N \times N\) матрицею.

    Так само, як власним вектором (Розділ 14.2)\(\boldsymbol{A}\) є\(\boldsymbol{v} \in \mathbb{C}^{N}\) таким\(\boldsymbol{A v}=\boldsymbol{\lambda v}\), що\(\boldsymbol{\lambda} \in \mathbb{C}\),

    Малюнок\(\PageIndex{3}\):\(\boldsymbol{A v}=\boldsymbol{\lambda v}\) де\(\boldsymbol{v} \in \mathbb{C}^{N}\) є власним вектором\(\boldsymbol{A}\).

    ми можемо визначити власну функцію (або власні сигнали) системи LTI,\(\mathcal{H}\) щоб бути сигналом\(f(t)\) такого, що

    \[\mathcal{H}[f(t)]=\lambda f(t), \quad \lambda \in \mathrm{C} \nonumber \]

    Малюнок\(\PageIndex{4}\):\(\mathcal{H}[f(t)]=\lambda f(t), \quad \lambda \in \mathrm{C}\) де\(f\) є власна функція\(\mathcal{H}\).

    власні функції - найпростіші можливі сигнали для роботи:\(\mathcal{H}\) щоб обчислити вихід, ми просто множимо вхід на комплексне число\(\lambda\).

    власні функції будь-якої системи LTI

    Клас систем LTI має спільну сукупність власних функцій: складні експоненціальні (розділ 1.8)\(e^{st}\),\(s \in \mathbb{C}\) є власними функціями для всіх систем LTI.

    \[\mathcal{H}\left[e^{s t}\right]=\lambda_{s} e^{s t} \label{14.10} \]

    Малюнок\(\PageIndex{5}\):\(\mathcal{H}\left[e^{s t}\right]=\lambda_{s} e^{s t}\) де\(\mathcal{H}\) знаходиться система LTI.

    Примітка

    Хоча завжди\(\left\{e^{s t}, \quad s \in \mathbb{C}\right\}\) є власними функціями системи LTI, вони не обов'язково є єдиними власними функціями.

    Ми можемо довести рівняння\ ref {14.10}, висловивши вихід у вигляді згортки (Розділ 3.3) вхідного\(e^{st}\) та імпульсного відгуку (Розділ 1.6)\(h(t)\)\(\mathcal{H}\):

    \ [\ почати {вирівняти}
    \ mathcal {H}\ лівий [e^ {s t}\ праворуч] &=\ int_ {-\ infty} ^ {\ inty} h (\ tau) e^ {s (t-\ tau)} d\ tau\ nonumber\\
    &=\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} h (\ tau) ^ {\ tau) e^ {\ tau) e^ {\ tau) t} e^ {- (s\ tau)} д\ тау\ nonumber\\
    &=e^ {s t}\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} h (\ tau) e^ {- (s\ tau)} д\ тау
    \ end {вирівняти}\ nonumber\]

    Так як вираз з правого боку не залежить від\(t\), воно є постійним,\(\lambda_s\). Тому

    \[\mathcal{H}\left[e^{s t}\right]=\lambda_{s} e^{s t} \nonumber \]

    \(\lambda_s\)Своє значення - це комплексне число, яке залежить від показника\(s\) і, звичайно ж, системи\(\mathcal{H}\). Щоб зробити ці залежності явними, ми будемо використовувати позначення\(H(s) \equiv \lambda_{s}\).

    Рисунок\(\PageIndex{6}\):\(e^{st}\) є власною функцією і\(H(s)\) є власними значеннями.

    Так як дія оператора LTI на власніфункції\(e^{st}\) легко обчислити і інтерпретувати, то зручно представляти довільний сигнал у\(f(t)\) вигляді лінійної комбінації складних експоненціальних. Ряд Фур'є дає нам це уявлення для періодичних сигналів безперервного часу, тоді як (трохи складніше) перетворення Фур'є дозволяє нам розширювати довільні сигнали безперервного часу.