14.4: власні речі в двох словах

Last updated
Save as PDF

Page ID: 34269

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

A Матриця та її власні вектори

Причина, по якій ми підкреслюємо власні вектори (Розділ 14.2) і їх важливість полягає в тому, що дія матриці\(A\) на один з її власних векторів\(\boldsymbol{v}\)

надзвичайно легко (і швидко) обчислити
\[A \boldsymbol{v}=\lambda \boldsymbol{v} \label{14.5} \]

просто помножте\(\boldsymbol{v}\) на\(\lambda\).
легко інтерпретувати:\(A\) просто \(\boldsymbol{v}\)масштабується, зберігаючи його напрямок постійним і лише змінюючи довжину вектора.

Якби кожен вектор був власним вектором\(A\)...

Використання Span власних векторів

Звичайно, не кожен вектор може бути... АЛЕ... Для певних матриць (включаючи ті з різними власними значеннями) їх власні вектори охоплюють,\(\lambda\) що означає\(\mathbb{C}^n\), що для будь-якої\(\boldsymbol{x} \in \mathbb{C}^n\), ми можемо знайти\(\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{n}\right\} \in \mathbb{C}\) такі, що:

\[\boldsymbol{x}=\alpha_{1} v_{1}+\alpha_{2} v_{2}+\ldots+\alpha_{n} v_{n} \label{14.6} \]

Задано рівняння\ ref {14.6}, ми можемо переписати\(A \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\). Це рівняння моделюється в нашій системі LTI, зображеній нижче:

\[\boldsymbol{x}=\sum_{i} \alpha_{i} v_{i} \nonumber \]

\[b=\sum_{i} \alpha_{i} \lambda_{i} v_{i} \nonumber \]

Система LTI вище представляє наше рівняння\ ref {14.5}. Нижче наведено ілюстрацію кроків, зроблених для переходу від\(\boldsymbol{x}\) до\(\boldsymbol{b}\).

\[\boldsymbol{x} \rightarrow\left(\boldsymbol{\alpha}=V^{-1} \boldsymbol{x}\right) \rightarrow\left(\Lambda V^{-1} \boldsymbol{x}\right) \rightarrow\left(V \Lambda V^{-1} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\right)\nonumber \]

де три кроки (стрілки) на наведеній вище ілюстрації представляють наступні три операції:

Трансформація\(\boldsymbol{x}\) за допомогою\(V^{-1}\) - врожайність\(\alpha\)
Дія\(A\) в новій основі - множення на\(\Lambda\)
Перекласти назад на стару основу - зворотне перетворення за допомогою множення на\(V\), яке дає нам\(\boldsymbol{b}\)