14.2: Власні вектори та власні значення

Last updated
Save as PDF

Page ID: 34267

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У цьому розділі наші лінійні системи будуть n×n матрицями комплексних чисел. Для невеликої довідки з деякими поняттями, на яких базується цей модуль, зверніться до основ лінійної алгебри (Розділ 14.1).

Власні вектори та власні значення

\(A\)Дозволяти\(n \times n\) матриця, де\(A\) лінійний оператор на векторах в\(\mathbb{C}^n\).

\[Ax=b \label{14.1} \]

де\(x\) і\(b\) є\(n \times 1\) векторами (рис.\(\PageIndex{1}\)).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Ілюстрація лінійної системи та векторів.

Визначення: Власні вектори

Власний вектор\(A\) - це вектор\(\mathbf{v} \in \mathbb{C}^{n}\) такий, що

\[A \mathbf{v}=\lambda \mathbf{v} \label{14.2} \]

де\(\lambda\) називається відповідне власне значення. \(A\)змінює тільки довжину\(\mathbf{v}\), а не її напрямок.

Графічна модель

За допомогою малюнка\(\PageIndex{2}\) та малюнка\(\PageIndex{3}\) розглянемо різницю між рівнянням\ ref {14.1} та рівнянням\ ref {14.2}.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Представляє рівняння\ ref {14.1},\(A \mathbf{x}=\mathbf{b}\).

Якщо\(\mathbf{v}\) є власним вектором\(A\), то змінюється тільки його довжина. Див. Рисунок\(\PageIndex{3}\) і зверніть увагу, як довжина нашого вектора просто масштабується за допомогою нашої змінної\(\lambda\), яка називається власним значенням:

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Представляє рівняння\ ref {14.2},\(A \mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}\).

Примітка

При роботі з матрицею\(A\) власні вектори є найпростішими можливими векторами для роботи.

Приклади

Вправа\(\PageIndex{1}\)

З огляду та розуміння власних векторів знайдіть два власні вектори,\(v_1\) і\(v_2\), з

\ [A=\ left (\ begin {масив} {cc}
3 & 0\
0 & -1
\ end {масив}\ праворуч)\ nonumber\]

Крім того, які відповідні власні значення,\(\lambda_1\) і\(\lambda_2\)? Не хвилюйтеся, якщо у вас виникли проблеми з переглядом цих значень з наданої інформації, ми розглянемо більш суворі способи пошуку цих значень найближчим часом.

Відповідь

Власні вектори, які ви знайшли, повинні бути такими:

\ [\ begin {масив} {l}
v_ {1} =\ left (\ begin {масив} {l}
1\
0
\ кінець {масив}\ праворуч)\\
v_ {2} =\ left (\ begin {масив} {l}
0\
1\ end {масив}
\ праворуч)\ кінець {масив}
\ кінець {масив} \ номер\]

І відповідними власними значеннями є

\[\lambda_1 = 3 \nonumber \]

\[\lambda_2 = -1 \nonumber \]

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Покажіть, що ці два вектори,

\ [\ begin {масив} {l}
v_ {1} =\ left (\ begin {масив} {l}
1\
1
\ кінець {масив}\ праворуч)\\
v_ {2} =\ left (\ begin {масив} {c}
1\
-1
\ кінець {масив}\ праворуч)
\ кінець {масив}\ nonumber\]

є власними векторами\(A\), де\ (A=\ left (\ begin {масив} {cc}
3 & -1\
-1 & 3
\ end {масив}\ право)\). Також знайдіть відповідні власні значення.

Відповідь

Для того щоб довести, що ці два вектори є власнимивекторами, покажемо, що ці твердження відповідають вимогам, викладеним у визначенні.

\ [\ begin {масив} {c}
A v_ {1} =\ left (\ begin {масив} {cc}
3 & -1\
-1 & 3
\ кінець {масив}\ праворуч)\ лівий (\ begin {масив} {c}
1\
1
\ end {масив}\ праворуч) =\ left (\ begin {масив} {c}
2\\
2
\ end {масив}\ праворуч)\\
A v_ {2} =\ left (\ begin {масив} {cc}
3 & -1\\
-1 & 3
\ end {масив}\ праворуч)\ left (\ begin {масив} {c}
1\\
-1
\ end {масив}\ праворуч) =\ лівий (\ begin {масив} {c}
4\
-4
\ end {масив}\ праворуч)
\ end {масив}\ nonumber\]

Ці результати показують нам, що масштабує\(A\) лише два вектори (тобто змінює їх довжину), і, таким чином, це доводить, що Equation\ ref {14.2} має значення true для наступних двох власних значень, які вам було запропоновано знайти:

\[\lambda_1 = 2 \nonumber \]

\[\lambda_2 = 4 \nonumber \]

Якщо вам потрібно більш переконливо, то можна також легко графувати вектори та їх відповідний продукт,\(A\) щоб побачити, що результати є лише масштабованими версіями наших оригінальних векторів,\(v_1\) і\(v_2\).

Лекція Хана про власні вектори

Рисунок\(\PageIndex{4}\): відео з Академії Хана - Введення t o Власні вектори та власні значення - 7:43 хв.

Обчислення власних значень та власних векторів

У наведених вище прикладах ми спиралися на ваше розуміння визначення і на деякі основні спостереження, щоб знайти і довести значення власних векторів і власних значень. Однак, як ви, напевно, можете сказати, знайти ці значення не завжди буде так просто. Нижче ми розглянемо суворий та математичний підхід при обчисленні власних значень та власних векторів матриці.

Пошук власних значень

Знайдіть\(\lambda \in \mathbb{C}\) таке\(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\), що, де\(\mathbf{0}\) знаходиться «нульовий вектор». Ми почнемо з Equation\ ref {14.2}, а потім працюємо вниз, поки не знайдемо спосіб явно обчислити\(\lambda\).

\ [\ почати {масив} {c}
A\ mathbf {v} =\ лямбда\ mathbf {v}\\
A\ mathbf {v} -\ лямбда\ mathbf {v} =0\\
(A-\ лямбда I)\ mathbf {v} =0
\ кінець {масив}\ nonumber\]

На попередньому кроці ми використовували той факт, що

\[\lambda \mathbf{v}=\lambda I \mathbf{v} \nonumber \]

де\(I\) - матриця ідентичності.

\ [I =\ ліворуч (\ почати {масив} {cccc}
1 & 0 &\ крапки & 0\\ 0 & 1 &
0\\ точки & 0\\ 0 &
0 &\\ ddots &\\ vdots\\
0 &\ dots &\\ dots & 1
\ end {масив}\ праворуч)\ nonumber\]

Отже,\(A−\lambda I\) це просто нова матриця.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

З огляду на наступну матрицю\(A\), то ми можемо знайти нашу нову матрицю,\(A−\lambda I\).

Якщо\((A−\lambda I) \mathbf{v} = 0\) для деяких\(\mathbf{v} \neq 0\),\(A− \lambda I\) то не обертається. Це означає:

\[\operatorname{det}(A-\lambda I)=0 \nonumber \]

Цей детермінант (показаний безпосередньо вище) виявляється поліноміальним виразом (порядку\(n\)). Подивіться на приклади нижче, щоб побачити, що це означає.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Починаючи з матриці\(A\) (показано нижче), ми знайдемо поліноміальний вираз, де наші власні значення будуть залежною змінною.

\ [A=\ left (\ begin {масив} {cc}
3 & -1\
-1 & 3
\ end {масив}\ праворуч)\ nonumber\]

\ [A-\ лямбда I=\ left (\ begin {масив} {cc}
3-\ лямбда & -1\\
-1 & 3-\ лямбда
\ кінець {масив}\ праворуч)\ nonumber\]

\[\operatorname{det}(A-\lambda I)=(3-\lambda)^{2}-(-1)^{2}=\lambda^{2}-6 \lambda+8 \nonumber \]

\[\lambda=\{2,4\} \nonumber \]

Приклад\(\PageIndex{3}\)

\ [\ begin {масив} {c}
A=\ left (\ begin {масив}
{cc} a_ {1,1} & a_ {1,2}\
a_ {2,1} & a_ {2,2}
\ кінець {масив}\ вправо)\\
A-\ лямбда I =\ left (\ begin {масив} {cc}
a_ {1,1} -\ лямбда і a_ {1 2}\\
a_ {2,1} & a_ {2,2} -\ лямбда
\ кінець {масив}\ праворуч)
\\\ ім'я оператора {det} (A-\ лямбда I) =\ лямбда ^ {2} -\ ліворуч (a_ {1,1} +a_ {2,2}\ справа)\ лямбда-a_ {2,1} a_ {1,2} +a_ {1,1} a_ {2,2}
\ кінець {масив}\ nonumber\

Якщо ви цього ще не помітили, обчислення власних значень еквівалентно обчисленню коренів

\[\operatorname{det}(A-\lambda I)=c_{n} \lambda^{n}+c_{n-1} \lambda^{n-1}+\dots+c_{1} \lambda+c_{0}=0 \nonumber \]

Висновок

Тому, просто використовуючи числення для розв'язання коренів нашого полінома, ми можемо легко знайти власні значення нашої матриці.

Пошук власних векторів

Задано власне значення\(\lambda_i\), асоційовані власні вектори задаються

\ [\ почати {масив} {c}
A\ mathbf {v} =\ лямбда_ {i}\ mathbf {v}\
A\ лівий (\ почати {масив} {c}
v_ {1}\ vdots
\\
v_ {n}\ кінець {масив}
\ справа) =\ лівий (\ почати {масив} {c}
\ lambda_ {1} v_ {1}\\
\ vdots\\
\ лямбда_ {n} v_ {n}
\ end {масив}\ справа)
\ кінець {масив}\ nonumber\]

множина\(n\) рівнянь з\(n\) невідомими. Просто вирішіть\(n\) рівняння, щоб знайти власні вектори.

Лекція Хана про виведення власних векторів та власних значень

Рисунок\(\PageIndex{5}\): відео з Академії Хана - Приклад e Виведення власних векторів та власних значень - 5:39 хв.

Основна точка

Скажімо, власні вектори\(A\)\(\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\}\), span\(\mathbb{C}^n\), значення лінійно\(\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\}\) незалежні (Розділ 14.1), і ми можемо написати будь-який\(\mathbf{x} \in \mathbb{C}^{n}\) як

\[\mathbf{x}=\alpha_{1} v_{1}+\alpha_{2} v_{2}+\cdots+\alpha_{n} v_{n} \label{14.3} \]

де\(\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\right\} \in \mathrm{C}\). Все, що ми робимо, це переписування з\(\mathbf{x}\) точки зору власних векторів\(A\). Потім,

\ [\ почати {масив} {c}
A\ mathbf {x} =А\ ліворуч (\ альфа_ {1} v_ {1} +\ альфа {2} v_ {2} +\ cdots+\ alpha_ {n} v_ {n}\ право)\
A\ mathbf {x} =\ альфа_ {1} A v_ {1} +\ альфа _ {2} А v_ {2} +\ cdots+\ альфа_ {n} A v_ {n}\
A\ mathbf {x} =\ альфа_ {1}\ лямбда_ {1} v_ {1} +\ альфа {2}\ лямбда {2} v_ {2} +\ cdots+\ alpha_ {n}\ лямбда_ {n} v_ {n} =b
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Тому ми можемо написати,

\[\mathbf{x}=\sum_{i} \alpha_{i} v_{i} \nonumber \]

і це призводить нас до наступної зображеної системи:

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Зображення системи, де ми розбиваємо наш вектор\(\mathbf{x}\), на суму власних векторів.

де на малюнку\(\PageIndex{6}\) ми маємо,

\[b=\sum_{i} \alpha_{i} \lambda_{i} v_{i} \nonumber \]

Основний момент:

Розбиваючи вектор\(\mathbf{x}\), на комбінацію власнихвекторів, розрахунок\(A\mathbf{x}\) розбивається на шматки «легко ковтати».

Завдання практики

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Для наступної матриці\(A\) та вектора\(\mathbf{x}\) вирішуйте для їх добутку. Спробуйте розв'язати його двома різними методами: безпосередньо та за допомогою власних векторів.

\ [\ begin {
вирівняний} A &=\ лівий (\ begin {масив} {cc}
3 &
-1\ -1 & 3
\ кінець {масив}\ праворуч)\\
&\ mathbf {x} =\ left (\ begin {масив} {l}
5\
3
\ end {масив}\ праворуч)
\ кінець {вирівняний}\ номер\]

Відповідь

Прямий метод (використовувати базове множення матриць)

\ [A\ mathbf {x} =\ left (\ begin {масив} {cc}
3 & -1\
-1 & 3
\ кінець {масив}\ праворуч)\ лівий (\ begin {масив} {l}
5\
3
\ end {масив}\ праворуч) =\ left (\ begin {масив} {c}
12\\
4
\ end {масив}\ право)\ nonumber\]

Власні вектори (використовуйте власні вектори та власні значення, які ми знайшли раніше для цієї ж матриці)

\ [\ begin {масив} {c}
v_ {1} =\ left (\ begin {масив} {c}
1\
1
\ кінець {масив}\ праворуч)\\
v_ {2} =\ left (\ begin {масив} {c}
1\
-1
\ кінець {масив}\ праворуч)\
\ лямбда _ {1} =2\\
\ лямбда_ {2} =4
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Як показано в Equation\ ref {14.3}, ми хочемо представити\(x\) як суму його масштабованих власних векторів. Для цього випадку у нас є:

\ [\ begin {масив} {c}
\ mathbf {x} = 4 v_ {1} +v_ {2}\
\ mathbf {x} =\ лівий (\ begin {масив} {c}
5\\
3
\ кінець {масив}\ праворуч) =4\ left (\ begin {масив} {c}

1\
\ кінець {масив}\ праворуч) +\ ліворуч (\ почати {масив} {c}
1\
-1
\ кінець {масив}\ праворуч)\
A\ mathbf {x} = A\ лівий (4 v_ {1} +v_ {2}\ праворуч) =\ лямбда_ {i}\ ліво (4 v_ {1} +v_ {2}\ праворуч)
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Тому у нас є

\ [A\ mathbf {x} =4\ раз 2\ ліворуч (\ begin {масив} {l}
1\
1\ кінець {масив}
\ праворуч) +4\ ліворуч (\ begin {масив} {c}
1\
-1
\ end {масив}\ праворуч) =\ left (\ begin {масив} {c}
12\\
4
\ end {масив}\ право)\ nonumber\]

Зверніть увагу, що цей метод з використанням власних векторів не вимагав множення матриці. Це, можливо, здавалося більш складним тут, але просто\(A\) уявіть, що це дійсно великий, або навіть лише на кілька вимірів більше!