14.1: Основна лінійна алгебра
- Page ID
- 34265
Цей короткий підручник з деяких ключових термінів лінійної алгебри не має на меті замінити або бути дуже корисним для тих з вас, хто намагається глибоко зрозуміти лінійну алгебру. Швидше, цей короткий вступ до деяких термінів та ідей лінійної алгебри призначений для надання невеликого досвіду тим, хто намагається краще зрозуміти або дізнатися про власні вектори та власні функції, які відіграють велику роль у отриманні кількох важливих ідей щодо сигналів та систем. Метою цих понять буде забезпечення фону для розкладання сигналу і привести до виведення рядів Фур'є.
Лінійна незалежність
Набір векторів\(\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right\}\) в лінійно\(x_{i} \in \mathbb{C}^{n}\) незалежні, якщо жоден з них не може бути записаний як лінійна комбінація інших.
Визначення: Лінійно незалежний
Для заданої множини векторів вони лінійно незалежні\(\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right\}\), якщо
\[c_{1} x_{1}+c_{2} x_{2}+\dots+c_{n} x_{n}=0 \nonumber \]
тільки коли\(c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0\)
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Ми наводимо наступні два вектори:
\ [\ begin {масив} {c}
x_ {1} =\ left (\ begin {масив} {c}
3\\
2
\ кінець {масив}\ справа)\\
x_ {2} =\ left (\ begin {масив} {c}
-6\
-4
\ кінець {масив}\ праворуч)
\ кінець {масив}\ nonumber\]
Вони не є лінійно незалежними, про що свідчить наступне твердження, яке, як видно, не дотримується зазначеного вище визначення лінійної незалежності.
\[\left(x_{2}=-2 x_{1}\right) \Rightarrow\left(2 x_{1}+x_{2}=0\right) \nonumber \]
Інший підхід до виявлення незалежності векторів полягає у графіку векторів. Дивлячись на ці два вектора геометрично (як на малюнку\(\PageIndex{1}\)), можна знову довести, що ці вектори не лінійно незалежні.
Приклад\(\PageIndex{2}\)
Ми наводимо наступні два вектори:
\ [\ begin {масив} {l}
x_ {1} =\ left (\ begin {масив} {l}
3\\
2
\ кінець {масив}\ праворуч)\\
x_ {2} =\ left (\ begin {масив} {l}
1\
2
\ end {масив}\ праворуч)
\ кінець {масив}\ nonumber\]
Вони лінійно незалежні, оскільки
\[c_{1} x_{1}=-\left(c_{2} x_{2}\right) \nonumber \]
тільки якщо\(c_1=c_2=0\). Виходячи з визначення, цей доказ показує, що ці вектори дійсно лінійно незалежні. Знову ж таки, ми могли б також графік цих двох векторів (див. Рис.\(\PageIndex{2}\)), щоб перевірити лінійну незалежність.
Вправа\(\PageIndex{1}\)
Чи\(\left\{x_{1}, x_{2}, x_{3}\right\}\) лінійно незалежні?
\ [\ begin {масив} {l}
x_ {1} =\ left (\ begin {масив} {l}
3\
2
\ кінець {масив}\ праворуч)\\
x_ {2} =\ left (\ begin {масив} {l}
1\
2
\ end {масив}\ праворуч)\\
x_ {3} =\ left (\ begin {масив} {c}
-1\\
0
\ end {масив}\ право)
\ end {масив}\ nonumber\]
- Відповідь
-
Граючи з векторами і зробивши трохи проб і помилок, ми виявимо наступний зв'язок:
\[x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=0 \nonumber \]
Таким чином, ми знайшли лінійну комбінацію цих трьох векторів, яка дорівнює нулю без встановлення коефіцієнтів, рівних нулю. Тому ці вектори не лінійно незалежні!
Як ми бачили в двох вищезазначених прикладах, часто незалежності векторів можна легко побачити через графік. Однак це може бути не так просто, коли нам дають три або більше векторів. Чи можете ви легко визначити, чи є ці вектори незалежними від малюнка\(\PageIndex{3}\). Ймовірно, ні, саме тому метод, який використовується в вищезгаданому розчині, стає важливим.
Примітка
Набір\(m\) векторів в\(\mathbb{C}^{n}\) не може бути лінійно незалежним, якщо\(m>n\).
Проліт
Визначення: Слово
Проліт множини векторів\(\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right\}\) - це сукупність векторів, які можуть бути записані у вигляді лінійної комбінації\(\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right\}\)
\[\operatorname{span}\left(\left\{x_{1}, \ldots, x_{k}\right\}\right)=\left\{\alpha_{1} x_{1}+\alpha_{2} x_{2}+\cdots+\alpha_{k} x_{k}, \quad \alpha_{i} \in \mathbb{C}^{n}\right\} \nonumber \]
Приклад\(\PageIndex{3}\)
З огляду на вектор
\ [x_ {1} =\ ліворуч (\ begin {масив} {l}
3\\
2
\ end {масив}\ праворуч)\ nonumber\]
проліт\(x_1\) - це лінія.
Приклад\(\PageIndex{4}\)
Задані вектори
\ [\ begin {масив} {l}
x_ {1} =\ left (\ begin {масив} {l}
3\\
2
\ кінець {масив}\ праворуч)\\
x_ {2} =\ left (\ begin {масив} {l}
1\
2
\ end {масив}\ праворуч)
\ кінець {масив}\ nonumber\]
проміжок цих векторів є\(\mathbb{C}^{2}\).
основа
Визначення: Основа
Основою для\(\mathbb{C}^{n}\) є набір векторів, які: (1) охоплюють\(\mathbb{C}^{n}\) і (2) лінійно незалежні.
Зрозуміло, що будь-який набір\(n\) лінійно незалежних векторів є основою для\(\mathbb{C}^n\).
Приклад\(\PageIndex{5}\)
Нам дано наступний вектор
\ [e_ {i} =\ лівий (\ begin {масив} {c}
0\
\ vdots\\
0\\
1\\
0\\
vdots\\\
0
\\ кінець {масив}\ справа)\ nonumber\]
де завжди\(1\) знаходиться на\(i\) -му місці, а інші значення дорівнюють нулю. Тоді підставою для\(\mathbb{C}^n\) є
\[\left\{e_{i}, \quad i=[1,2, \ldots, n]\right\} \nonumber \]
Примітка
\(\left\{e_{i}, \quad i=[1,2, \ldots, n]\right\}\)називається стандартною основою.
Приклад\(\PageIndex{6}\)
\ [\ begin {масив} {c}
h_ {1} =\ left (\ begin {масив} {c}
1\
1
\ кінець {масив}\ праворуч)\\
h_ {2} =\ left (\ begin {масив} {c}
1\
-1
\ end {масив}\ праворуч)
\ кінець {масив}\ nonumber\]
\(\left\{h_{1}, h_{2}\right\}\)є основою для\(\mathbb{C}^2\).
Якщо\(\left\{b_{1}, \ldots, b_{2}\right\}\) є основою для\(\mathbb{C}^n\), то ми можемо висловити будь-який\(\boldsymbol{x} \in \mathbb{C}^{n}\) як лінійну\(b_{i}\) комбінацію з:
\[x=\alpha_{1} b_{1}+\alpha_{2} b_{2}+\dots+\alpha_{n} b_{n}, \quad \alpha_{i} \in \mathbb{C} \nonumber \]
Приклад\(\PageIndex{7}\)
З огляду на наступний вектор,
\ [x=\ left (\ begin {масив} {l}
1\\
2
\ end {масив}\ праворуч)\ nonumber\]
написання з\(x\) точки зору\(\left\{e_{1}, e_{2}\right\}\) дає нам
\[x=e_{1}+2 e_{2} \nonumber \]
Вправа\(\PageIndex{2}\)
Спробуйте і пишіть з\(x\) точки зору\(\left\{h_{1}, h_{2}\right\}\) (визначено в попередньому прикладі).
- Відповідь
-
\[x=\frac{3}{2} h_{1}+\frac{-1}{2} h_{2} \nonumber \]
У двох базових прикладах вище,\(x\) це один і той же вектор в обох випадках, але ми можемо висловити його різними способами (ми даємо лише дві з багатьох, багатьох можливостей). Ви можете взяти це ще далі, розширивши цю ідею основи на функціональні простори.
Примітка
Як згадувалося у вступі, ці поняття лінійної алгебри допоможуть підготувати вас до розуміння ряду Фур'є, який говорить нам про те, що ми можемо виражати періодичні функції\(f(t)\), з точки зору їх базових функцій\(e^{j \omega_0 nt}\).