12.9: Дискретний дизайн фільтра часу

Last updated
Save as PDF

Page ID: 34153

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Оцінка частотної характеристики від Z-площини

Одним з основних мотивуючих факторів для використання z-перетворення та аналізу графіків полюса/нуля є їх зв'язок із частотною характеристикою дискретної системи часу. Виходячи з положення полюсів і нулів, можна швидко визначити частотну характеристику. Це результат відповідності частотної характеристики і передавальної функції, оціненої на одиничному колі на ділянках полюс/нуль. Частотна характеристика, або DTFT, системи визначається як:

\ [\ почати {вирівняти}
H (w) &=\ ліво.H (z)\ право|_ {z, z=e^ {j w}}\ номер\\
&=\ фрак {\ sum_ {k=0} ^ {М} b_ {k} e^ {- (jwk)}} {\ sum_ {k=0} ^ {N} a_ {k} e^ {- (jw k)}}
\ кінець {вирівнювання}\ номер\]

Далі, факторингом передавальної функції в полюси і нулі і множивши чисельник і знаменник на,\(e^{jw}\) ми отримуємо наступні рівняння:

\[H(w)=\left|\frac{b_{0}}{a_{0}}\right| \frac{\prod_{k=1}^{M}\left|e^{j w}-c_{k}\right|}{\prod_{k=1}^{N}\left|e^{j w}-d_{k}\right|} \label{12.80} \]

З Equation\ ref {12.80} ми маємо частотну характеристику у формі, яка може бути використана для інтерпретації фізичних характеристик частотної характеристики фільтра. Чисельник і знаменник містять добуток термінів виду\(|e^{jw}-h|\), де або нуль,\(h\) що позначається\(c_k\) або полюс, позначається символом\(d_k\). Вектори зазвичай використовуються для представлення терміна та його частин на складній площині. Полюс або нуль\(h\), є вектором від початку до його розташування в будь-якому місці на складній площині і\(e^{jw}\) є вектором від початку до його розташування на одиничному колі. Вектор, що з'єднує ці дві точки\(|e^{jw}-h|\), з'єднує полюс або нуль розташування з місцем на одиничній окружності в залежності від величини\(w\). З цього ми можемо почати розуміти, як величина АЧХ - це відношення відстаней до полюсів і нуля, присутніх в z-площині, коли ww йде від нуля до пі. Ці характеристики дозволяють інтерпретувати\(|H(w)|\) наступним чином:

\[|H(w)|=\left|\frac{b_{0}}{a_{0}}\right| \frac{\prod \text { "distances from zeros" }}{\prod \text { "distances from poles" }} \nonumber \]

Малювання частотної характеристики від полюса/нульового ділянки

Давайте тепер розглянемо кілька прикладів визначення величини АЧХ з графіка полюс/нуль z-перетворення. Якщо ви забули або не знайомі з полюсами/нульовими ділянками, будь ласка, зверніться до модуля Полюс/Нульові графіки (розділ 12.5).

Приклад\(\PageIndex{1}\)

У цьому першому прикладі ми розглянемо дуже просте z-перетворення, показане нижче:

\[H(z)=z+1=1+z^{-1} \nonumber \]

\[H(w)=1+e^{-(j w)} \nonumber \]

У цьому прикладі деякі вектори, представлені\(\left|e^{j w}-h\right|\), для випадкових значень\(w\), явно малюються на комплексній площині, показаної на малюнку\(\PageIndex{1}\) нижче. Ці вектори показують, як змінюється амплітуда частотної\(w\) характеристики від\(0\) до\(2 \pi\), а також показують фізичне значення термінів у рівнянні\ ref {12.80} вище. Можна бачити, що коли\(w=0\), вектор найдовший і, таким чином, АЧХ матиме найбільшу амплітуду тут. Коли ми наближаємося\(\pi\), довжина векторів зменшується, як і амплітуда\(|H(w)|\). Оскільки в перетворенні немає полюсів, існує лише один векторний термін, а не співвідношення, як показано в Equation\ ref {12.80}.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Перша цифра представляє діаграму полюса/нуль з кількома представницькими векторами, а друга показує частотну характеристику з піковим значенням\(+2\) та графіком між плюсом і мінус\(\pi\).

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Для цього прикладу аналізується більш складна передавальна функція, щоб представити частотну характеристику системи.

\[H(z)=\frac{z}{z-\frac{1}{2}}=\frac{1}{1-\frac{1}{2} z^{-1}} \nonumber \]

\[H(w)=\frac{1}{1-\frac{1}{2} e^{-(j w)}} \nonumber \]

Нижче ми можемо побачити дві фігури, описані вищевказаними рівняннями. Рисунок\(\PageIndex{2}(a)\) представляє базовий полюс/нульовий графік z-перетворення,\(H(w)\). \(\PageIndex{2}(b)\)На малюнку показана величина АЧХ. З формул та тверджень у попередньому розділі ми бачимо, що коли\(w=0\) частота буде піковою, оскільки саме при цьому значенні ww полюс є найближчим до одиничного кола. Співвідношення з Equation\ ref {12.80} допомагає нам побачити математику, що стоїть за цим висновком, і зв'язок між відстанями від одиничного кола і полюсами і нулями. Коли\(w\) рухається від\(0\) до\(\pi\), ми бачимо, як нуль починає маскувати ефекти полюса і тим самим змушувати частотну характеристику ближче до\(0\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Перша цифра представляє діаграму полюса/нуль, а друга показує частотну характеристику з піком на\(+2\) і графіком між плюсом і мінус\(\pi\).

Інтерактивний фільтр дизайн ілюстрації

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Дизайн цифрового фільтра віртуального інструменту LabVIEW від NI від http://cnx.org/content/m13115/latest/.

Висновок

На закінчення, використовуючи відстані від одиничного кола до полюсів і нулів, ми можемо побудувати графік АЧХ системи. Як ми переходимо від\(0\) до\(2\pi\), наступні два властивості, взяті з вищевказаних рівнянь, вказують, як слід малювати\(|H(w)|\).

Під час руху по колу одиниці...

якщо близький до нуля, то величина невелика. Якщо нуль знаходиться на одиничному колі, то частотна характеристика дорівнює нулю в цій точці.
якщо близько до полюса, то величина велика. Якщо полюс знаходиться на одиничному колі, то частотна характеристика переходить до нескінченності в цій точці.