12.8: Різницеві рівняння
- Page ID
- 34132
Вступ
Однією з найважливіших концепцій DSP є можливість належним чином представляти відносини введення/виведення до даної системи LTI. Лінійне різницеве рівняння з постійним коефіцієнтом (LCCDE) служить способом вираження саме цього співвідношення в дискретній системі часу. Написання послідовності входів і виходів, які представляють характеристики системи LTI, як різницевого рівняння допомагають у розумінні та маніпулюванні системою.
Визначення: Різницеве рівняння
Рівняння, яке показує зв'язок між послідовними значеннями послідовності та відмінностями між ними. Вони часто переставляються як рекурсивна формула, так що вихід системи можна обчислити з вхідного сигналу та минулих виходів.
Приклад\(\PageIndex{1}\)
\[y[n]+7 y[n-1]+2 y[n-2]=x[n]-4 x[n-1] \nonumber \]
Загальні формули для різницевого рівняння
Як коротко сказано в визначенні вище, різницеве рівняння є дуже корисним інструментом в описі і розрахунку виходу системи, описаної формулою для даного зразка\(n\). Ключовою властивістю різницевого рівняння є його здатність допомогти легко знайти перетворення системи.\(H(z)\) У наступних двох підрозділах ми розглянемо загальну форму різницевого рівняння і загальне перетворення в z-перетворення безпосередньо з різницевого рівняння.
Різницеве рівняння
Загальна форма лінійного різницевого рівняння з постійним коефіцієнтом (LCCDE) наведена нижче:
\[\sum_{k=0}^{N} a_{k} y[n-k]=\sum_{k=0}^{M} b_{k} x[n-k] \label{12.52} \]
Ми також можемо написати загальну форму, щоб легко висловити рекурсивний висновок, який виглядає так:
\[y[n]=-\sum_{k=1}^{N} a_{k} y[n-k]+\sum_{k=0}^{M} b_{k} x[n-k] \label{12.53} \]
З цього рівняння зверніть увагу, що\(y[n−k]\) представляє виходи і\(x[n−k]\) представляє входи. Значення\(N\) представляє порядок різницевого рівняння і відповідає пам'яті представленої системи. Оскільки це рівняння спирається на минулі значення вихідних даних, для обчислення числового рішення повинні бути відомі певні минулі виходи, які називаються початковими умовами.
Перетворення на Z-Transform
Використовуючи наведену вище формулу Equation\ ref {12.53}, ми можемо легко узагальнити передавальну функцію\(H(z)\), для будь-якого різницевого рівняння. Нижче наведено кроки, зроблені для перетворення будь-якого різницевого рівняння в його передавальну функцію, тобто z-перетворення. Перший крок передбачає перетворення Фур'є всіх членів у Рівнянні\ ref {12.53}. Потім ми використовуємо властивість лінійності, щоб витягнути перетворення всередині підсумовування та властивість зсуву часу z-transform, щоб змінити терміни, що зсуваються у часі, на експоненціальні. Як тільки це буде зроблено, ми дійдемо до наступного рівняння:\(a_0=1\).
\[Y(z)=-\sum_{k=1}^{N} a_{k} Y(z) z^{-k}+\sum_{k=0}^{M} b_{k} X(z) z^{-k} \nonumber \]
\ [\ почати {вирівняти}
H (z) &=\ розрив {Y (z)} {X (z)}\ номер\\
&=\ розрив {\ сума {k=0} ^ {М} b_ {k} z^ {-k}} {1+\ сума {k = 1} ^ {N} a_ {k} z^ {k} z^ {-k}} {-k} {-k}}
\ кінець вирівняти}\ nonumber\]
Перетворення в частотну характеристику
Після того, як z-перетворення було обчислено з різницевого рівняння, ми можемо піти на крок далі, щоб визначити частотну характеристику системи або фільтра, який представлений різницевим рівнянням.
Примітка
Пам'ятайте, що причина, по якій ми маємо справу з цими формулами, полягає в тому, щоб допомогти нам у проектуванні фільтрів. LCCDE є одним з найпростіших способів представлення фільтрів FIR. Маючи можливість знайти частотну характеристику, ми зможемо подивитися на основні властивості будь-якого фільтра, представленого простим LCCDE.
Нижче наведена загальна формула частотної характеристики z-перетворення. Перетворення є простим питанням прийняття формули z-transform\(H(z)\), і заміни кожного екземпляра\(z\) з\(e^{jw}\).
\ [\ почати {вирівняти}
H (w) &=\ ліво.H (z)\ право|_ {z, z=e^ {jw}}\\
&=\ фрак {\ sum_ {k=0} ^ {М} b_ {k} e^ {- (j w k)}} {\ sum_ {k=0} ^ {N} a_ {k} e^ {k} e^ {- (j w k)}}
\ кінець {вирівняти}\ nomumber\]
Як тільки ви зрозумієте виведення цієї формули, подивіться на модуль, що стосується дизайну фільтра з Z-Transform (розділ 12.9), щоб дізнатися, як усі ці ідеї Z-перетворення, різницевого рівняння та полюса/нульових графіків (розділ 12.5) відіграють певну роль у проектуванні фільтрів.
Приклад
Приклад\(\PageIndex{2}\): Finding Difference Equation
Нижче наведено базовий приклад, що показує протилежність крокам вище: з огляду на передавальну функцію, можна легко обчислити рівняння різниці систем.
\[H(z)=\frac{(z+1)^{2}}{\left(z-\frac{1}{2}\right)\left(z+\frac{3}{4}\right)} \nonumber \]
Враховуючи цю передавальну функцію фільтра часової області, ми хочемо знайти різницеве рівняння. Для початку розгорніть обидва поліноми і розділіть їх на вищий порядок\(z\).
\ [\ почати {вирівняти}
H (z) &=\ frac {(z+1) (z+1)} {\ лівий (z-\ frac {1} {2}\ праворуч)\ лівий (z+\ frac {3} {4}\ праворуч)}\ nonumber\\
&=\ frac {z^ {2} +2 z+1} гідророзрив {3} {8}}\ номер\\
&=\ розрив {1+2 z^ {-1} +z^ {-2}} {1+\ розрив {1} {4} z^ {-1} -\ frac {3} {8} z^ {-2}}
\ end { вирівняти}\ nonumber\]
З цієї передавальної функції коефіцієнти двох поліномів будуть нашими,\(a_k\) а\(b_k\) значення знайдуться у формулі загального різницевого рівняння, Equation\ ref {12.53}. Використовуючи ці коефіцієнти і вищевказану форму передавальної функції, ми можемо легко записати різницеве рівняння:
\[x[n]+2 x[n-1]+x[n-2]=y[n]+\frac{1}{4} y[n-1]-\frac{3}{8} y[n-2] \nonumber \]
На нашому останньому кроці ми можемо переписати різницеве рівняння в більш поширеній формі, показуючи рекурсивний характер системи.
\[y[n]=x[n]+2 x[n-1]+x[n-2]+\frac{-1}{4} y[n-1]+\frac{3}{8} y[n-2] \nonumber \]
Розв'язування LCCDE
Для того, щоб лінійне різницеве рівняння з постійним коефіцієнтом було корисним при аналізі системи LTI, ми повинні мати можливість знайти вихід системи на основі відомого входу та набору початкових умов.\(x(n)\) Для розв'язання LCCDE існують два загальні методи: прямий метод і непрямий метод, пізніше заснований на z-перетворенні. Нижче ми коротко обговоримо формули для вирішення LCCDE з використанням кожного з цих методів.
прямий метод
Остаточним рішенням виведення на основі прямого методу є сума двох частин, виражена в наступному рівнянні:
\[y(n)=y_{h}(n)+y_{p}(n) \nonumber \]
Перша частина\(y_h(n)\), називається однорідним розчином, а друга частина\(y_h(n)\), називається конкретним розчином. Наступний метод дуже схожий на той, який використовується для вирішення багатьох диференціальних рівнянь, тому якщо ви взяли курс диференціального числення або використовували диференціальні рівняння раніше, це повинно здатися дуже знайомим.
однорідний розчин
Почнемо з припущення, що вхід дорівнює нулю,\(x(n)=0\). Тепер нам просто потрібно вирішити однорідне різницеве рівняння:
\[\sum_{k=0}^{N} a_{k} y[n-k]=0 \nonumber \]
Для того щоб вирішити цю проблему, зробимо припущення, що рішення має форму експоненції. Ми будемо використовувати лямбда,\(\lambda\), для представлення наших експоненціальних термінів. Тепер нам належить вирішити наступне рівняння:
\[\sum_{k=0}^{N} a_{k} \lambda^{n-k}=0 \nonumber \]
Ми можемо розширити це рівняння і коефіцієнт з усіх лямбда-термінів. Це дасть нам великий многочлен в дужках, який іменується характеристичним многочленом. Коріння цього многочлена будуть ключем до вирішення однорідного рівняння. Якщо є всі чіткі корені, то загальне рішення рівняння буде наступним:
\[y_{h}(n)=C_{1}\left(\lambda_{1}\right)^{n}+C_{2}\left(\lambda_{2}\right)^{n}+\cdots+C_{N}\left(\lambda_{N}\right)^{n} \nonumber \]
Однак якщо характеристичне рівняння містить кілька коренів, то вищевказане загальне рішення буде дещо іншим. Нижче ми маємо модифіковану версію рівняння, де\(\lambda_1\) має\(K\) кілька коренів:
\[y_{h}(n)=C_{1}\left(\lambda_{1}\right)^{n}+C_{1} n\left(\lambda_{1}\right)^{n}+C_{1} n^{2}\left(\lambda_{1}\right)^{n}+\cdots+C_{1} n^{K-1}\left(\lambda_{1}\right)^{n}+C_{2}\left(\lambda_{2}\right)^{n}+\cdots+C_{N}\left(\lambda_{N}\right)^{n} \nonumber \]
Конкретне рішення
Конкретним рішенням\(y_p(n)\), буде будь-яке рішення, яке вирішить загальне різницеве рівняння:
\[\sum_{k=0}^{N} a_{k} y_{p}(n-k)=\sum_{k=0}^{M} b_{k} x(n-k) \nonumber \]
Для того, щоб вирішити, наша здогадка для рішення\(y_p(n)\) прийме форму введення,\(x(n)\). Після вгадання на рішення вищевказаного рівняння, що включає конкретне рішення, потрібно лише включити рішення до різницевого рівняння та вирішити його.
непрямий метод
Непрямий метод використовує зв'язок між різницевим рівнянням та z-перетворенням, розглянутим раніше, для пошуку рішення. Основна ідея полягає в перетворенні різницевого рівняння в z-перетворення, як описано вище, щоб отримати отриманий результат,\(Y(z)\). Потім, оберненим перетворенням цього і використовуючи часткове дробне розширення, ми можемо прийти до рішення.
\[Z\{y(n+1)-y(n)\}=z Y(z)-y(0) \nonumber \]
Це можна інтерактивно розширити на похідну довільного порядку, як у Equation\ ref {12.69}.
\[Z\left\{-\sum_{m=0}^{N-1} y(n-m)\right\}=z^{n} Y(z)-\sum_{m=0}^{N-1} z^{n-m-1} y^{(m)}(0) \label{12.69} \]
Тепер можна взяти перетворення Лапласа кожної сторони диференціального рівняння
\[Z\left\{\sum_{k=0}^{N} a_{k}\left[y(n-m+1)-\sum_{m=0}^{N-1} y(n-m) y(n)\right]=Z\{x(n)\}\right\} \nonumber \]
що за лінійністю призводить до
\[\sum_{k=0}^{N} a_{k} Z\left\{y(n-m+1)-\sum_{m=0}^{N-1} y(n-m) y(n)\right\}=Z\{x(n)\} \nonumber \]
і за диференціаційними властивостями в
\[\sum_{k=0}^{N} a_{k}\left(z^{k} Z\{y(n)\}-\sum_{m=0}^{N-1} z^{k-m-1} y^{(m)}(0)\right)=Z\{x(n)\}. \nonumber \]
Перевпорядкування термінів для виділення перетворення Лапласа вихідних даних,
\[Z\{y(n)\}=\frac{Z\{x(n)\}+\sum_{k=0}^{N} \sum_{m=0}^{k-1} a_{k} z^{k-m-1} y^{(m)}(0)}{\sum_{k=0}^{N} a_{k} z^{k}}. \nonumber \]
Таким чином, встановлено, що
\[Y(z)=\frac{X(z)+\sum_{k=0}^{N} \sum_{m=0}^{k-1} a_{k} z^{k-m-1} y^{(m)}(0)}{\sum_{k=0}^{N} a_{k} z^{k}}. \label{12.74} \]
Для того, щоб знайти вихід, залишається лише знайти перетворення Лапласа\(X(z)\) вхідних даних, підставити початкові умови та обчислити обернене Z-перетворення результату. Часткові часткові розширення часто потрібні для цього останнього кроку. Це може здатися складним при погляді на Equation\ ref {12.74}, але це часто легко на практиці, особливо для різницевих рівнянь низького порядку. Рівняння\ ref {12.74} також може використовуватися для визначення передавальної функції та частотної характеристики.
Як приклад розглянемо різницеве рівняння
\[y[n-2]+4 y[n-1]+3 y[n]=\cos (n) \nonumber \]
з початковими умовами\(y′(0)=1\) і\(y(0)=0\) Використовуючи метод, описаний вище, Z-перетворення розв'язку\(y[n]\) задається
\[Y[z]=\frac{z}{\left[z^{2}+1\right][z+1][z+3]}+\frac{1}{[z+1][z+3]}. \nonumber \]
Виконуючи розкладання часткового дробу, це також дорівнює
\[Y[z]=.25 \frac{1}{z+1}-.35 \frac{1}{z+3}+.1 \frac{z}{z^{2}+1}+.2 \frac{1}{z^{2}+1}. \nonumber \]
Обчислення оберненого перетворення Лапласа,
\[y(n)=\left(.25 z^{-n}-.35 z^{-3 n}+.1 \cos (n)+.2 \sin (n)\right) u(n). \nonumber \]
Можна перевірити, що це задовольняє, що це задовольняє як диференціальному рівнянню, так і початковим умовам.