12.7: Раціональні функції та Z-перетворення

Last updated
Save as PDF

Page ID: 34120

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вступ

При роботі з операціями над поліномами термін раціональна функція є простим способом опису певного співвідношення між двома поліномами.

Визначення: Раціональна функція

Для будь-яких двох многочленів, A і B, їх частка називається раціональною функцією.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Нижче наведено простий приклад базової раціональної функції,\(f(x)\). Зверніть увагу, що чисельник і знаменник можуть бути поліномами будь-якого порядку, але раціональна функція невизначена, коли знаменник дорівнює нулю.

\[f(x)=\frac{x^{2}-4}{2 x^{2}+x-3} \label{12.48} \]

Якщо ви почали вивчати Z-перетворення, ви повинні були помітити, що всі вони є раціональними функціями. Нижче ми розглянемо деякі властивості раціональних функцій і те, як вони можуть бути використані для виявлення важливих характеристик щодо z-перетворення, а отже, сигналу або системи LTI.

Властивості раціональних функцій

Для того щоб побачити, що робить раціональні функції особливими, розглянемо деякі їх основні властивості та характеристики. Якщо ви знайомі з раціональними функціями та основними алгебраїчними властивостями, перейдіть до наступного підрозділу, щоб побачити, наскільки раціональні функції корисні при роботі з z-перетворенням.

Коріння

Щоб зрозуміти багато з наступних характеристик раціональної функції, потрібно почати з пошуку коренів раціональної функції. Для цього давайте вважатимемо обидва поліноми, щоб коріння можна було легко визначити. Як і всі многочлени, коріння нададуть нам інформацію про багато ключових властивостей. Функція нижче показує результати факторингу наведеної вище раціональної функції, Equation\ ref {12.48}.

\[f(x)=\frac{(x+2)(x-2)}{(2 x+3)(x-1)} \label{12.49} \]

Таким чином, коріння раціональної функції такі:

Коріння чисельника бувають:\(\{-2,2\}\)

Коріння знаменника бувають:\(\{-3,1\}\)

Примітка

Для того, щоб зрозуміти раціональні функції, важливо знати і розуміти коріння, що складають раціональну функцію.

розриви

Оскільки ми маємо справу з діленням двох многочленів, ми повинні знати про значення змінної, яка призведе до того, що знаменник нашого дробу буде нульовим. Коли це відбувається, раціональна функція стає невизначеною, тобто ми маємо розрив у функції. Оскільки ми вже вирішили своє коріння, дуже легко побачити, коли це відбувається. Коли змінна в знаменнику дорівнює будь-якому з коренів знаменника, функція стає невизначеною.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Продовжуючи дивитися на нашу раціональну функцію вище, Equation\ ref {12.48}, ми бачимо, що функція матиме розриви в наступних точках:\(x=\{-3,1\}\)

Щодо декартової площини ми говоримо, що розриви - це значення вздовж осі x, де функція невизначена. Ці розриви часто з'являються у вигляді вертикальних асимптотів на графіку, щоб представляти значення, де функція не визначена.

Домен

Використовуючи корені, які ми знайшли вище, можна легко визначити область раціональної функції.

Визначення: Domain

Група, або множина, значень, які визначаються заданою функцією.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Використовуючи раціональну функцію вище Equation\ ref {12.48}, область може бути визначена як будь-яке дійсне число,\(x\) де\(x\) не дорівнює 1 або від'ємному 3. Виписуючи математичні, отримуємо наступне:

\[\{x \in \mathbb{R} \mid(x \neq-3) \text { and }(x \neq 1)\} \label{12.50} \]

Перехоплює

X-перехоплення визначається як точка (и)\(f(x)\), де, тобто вихід раціональних функцій, дорівнює нулю. Оскільки ми вже знайшли коріння рівняння, цей процес дуже простий. З алгебри ми знаємо, що вихід буде дорівнює нулю щоразу, коли чисельник раціональної функції дорівнює нулю. Таким чином, функція матиме перехоплення x, де\(x\) дорівнює одному з коренів чисельника.

Y-перехоплення відбувається щоразу, коли\(x\) дорівнює нулю. Це можна знайти, встановивши всі значення\(x\) рівних нулю і вирішивши раціональну функцію.

Раціональні функції та Z-перетворення

Як ми вже заявляли вище, всі z-перетворення можна записати як раціональні функції, які стали найпоширенішим способом представлення z-перетворення. Через це ми можемо використовувати наведені вище властивості, особливо властивості коренів, щоб виявити певні характеристики щодо системи сигналу або LTI, описаної z-перетворенням.

Нижче наведена загальна форма z-перетворення, записаного як раціональна функція:

\[X(z)=\frac{b_{0}+b_{1} z^{-1}+\cdots+b_{M} z^{-M}}{a_{0}+a_{1} z^{-1}+\cdots+a_{N} z^{-N}} \label{12.51} \]

Якщо ви вже розглядали модуль про розуміння полюс/нульових графіків та Z-перетворення (розділ 12.5), ви повинні побачити, як коріння раціональної функції відіграють важливу роль у розумінні z-перетворення. Вищенаведене рівняння, Equation\ ref {12.51}, може бути виражено у факторованому вигляді так само, як це було зроблено для простої раціональної функції вище, див. Рівняння\ ref {12.49}. Таким чином, ми можемо легко знайти коріння чисельника і знаменника z-перетворення. Наступні два відносини стають очевидними:

Зв'язок коренів до полюсів і нулів

Коріння чисельника в раціональній функції будуть нулями z-перетворення
Коріння знаменника в раціональній функції будуть полюсами z-перетворення

Висновок

Після того, як ми використали наші знання про раціональні функції, щоб знайти їх коріння, ми можемо маніпулювати z-перетворенням кількома корисними способами. Ми можемо застосувати ці знання для представлення системи LTI графічно через Pole/Zero Plot (Розділ 12.5), або для аналізу та проектування цифрового фільтра за допомогою дизайну фільтра з Z-Transform (розділ 12.9).