12.6: Область збіжності для Z-перетворення
- Page ID
- 34131
Вступ
При z-перетворенні s-площина являє собою сукупність сигналів (складні експоненціальні (розділ 1.8)). Для будь-якої даної системи LTI (Розділ 2.1) деякі з цих сигналів можуть спричинити сходження виходу системи, а інші призводять до розходжень виходу («вибуху»). Набір сигналів, які змушують сходитися вихід системи, лежить в області конвергенції (ROC). У цьому модулі буде розглянуто, як знайти цю область збіжності для будь-якої дискретно-часової системи LTI.
Регіон конвергенції
Область конвергенції, відома як ROC, важливо розуміти, оскільки вона визначає регіон, де існує z-перетворення. Z-перетворення послідовності визначається як
\[X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} \nonumber \]
ROC для заданого\(x[n]\), визначається як діапазон,\(z\) для якого зближується z-перетворення. Оскільки z-перетворення є силовим рядом, він сходиться, коли\(x[n]z^{−n}\) абсолютно підсумовується. Зазначається по-різному,
\[\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left|x[n] z^{-n}\right|<\infty \nonumber \]
повинні бути задоволені для зближення.
Властивості області конвергенції
Область збіжності має ряд властивостей, які залежать від характеристик сигналу,\(x[n]\).
- РПЦ не може містити жодних полюсів. За визначенням полюс -\(X(z)\) це де нескінченно. Оскільки\(X(z)\) має бути кінцевим для всіх\(z\) для зближення, в РПЦ не може бути полюса.
- Якщо\(\bf{x[n]}\) послідовність скінченної тривалості, то ROC - це вся z-площина, крім можливо\(\bf{z=0}\) або\(\bf{|z|=\infty}\). Послідовність скінченної тривалості - це послідовність, яка є ненульовою в скінченному інтервалі\(n_1≤n≤n_2\). До тих пір, поки\(x[n]\) кожне значення є кінцевим, послідовність буде абсолютно підсумовується. Коли\(n_2>0\) буде\(z^{−1}\) термін і, таким чином, РПЦ не буде включати\(z=0\). Коли\(n_1<0\) тоді сума буде нескінченною і, таким чином, РПЦ не буде включати\(|z|=\infty\). З іншого боку, коли\(n_2≤0\) тоді РПЦ включатиме\(z=0\), а коли\(n_1≥0\) РПЦ включатиме\(|z|=\infty\). При цих обмеженнях єдиний сигнал, тоді, чий ROC - вся z-площина є\(x[n]=c \delta[n]\).
Наступні властивості застосовуються до нескінченних послідовностей тривалості. Як зазначалося вище, z-перетворення сходиться при\(|X(z)|<\infty\). Таким чином, ми можемо написати
\[|X(z)|=\left|\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}\right| \leq \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left|x[n] z^{-n}\right|=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|(|z|)^{-n} \nonumber \]
Потім ми можемо розділити нескінченну суму на порції позитивного часу та негативного часу. Так
\[|X(z)| \leq N(z)+P(z) \nonumber \]
де
\[N(z)=\sum_{n=-\infty}^{-1}|x[n]|(|z|)^{-n} \nonumber \]
і
\[P(z)=\sum_{n=0}^{\infty}|x[n]|(|z|)^{-n} \nonumber \]
Для того,\(|X(z)|\) щоб бути кінцевим,\(|x[n]|\) повинні бути обмежені. Давайте потім встановимо
\[|x(n)| \leq C_{1} r_{1}^{n} \nonumber \]
для
\[n<0 \nonumber \]
і
\[|x(n)| \leq C_{2} r_{2}^{n} \nonumber \]
для
\[n≥0 \nonumber \]
З цього можна вивести деякі подальші властивості:
- Якщо\(\bf{x[n]}\) правобічна послідовність, то РПЦ простягається назовні від крайнього полюса в\(\bf{X(z)}\). Правостороння послідовність - це послідовність, де\(x[n]=0\) для\(n<n_1<\infty\). Дивлячись на позитивно-часову порцію з вищевказаного похідного, випливає, що
\[P(z) \leq C_{2} \sum_{n=0}^{\infty} r_{2}^{n}(|z|)^{-n}=C_{2} \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{r_{2}}{|z|}\right)^{n} \nonumber \]
Таким чином, для того, щоб ця сума зійшлася\(|z|>r_2\), і тому РПЦ правосторонньої послідовності має вигляд\(|z|>r_2\).
- Якщо\(\bf{x[n]}\) лівостороння послідовність, то РПЦ простягається всередину від самого внутрішнього полюса в\(\bf{X(z)}\). Лівостороння послідовність - це послідовність, де\(x[n]=0\) для\(n>n_2>−\infty\). Дивлячись на негативно-часову частину від вищевказаного похідного, випливає, що
\[N(z) \leq C_{1} \sum_{n=-\infty}^{-1} r_{1}^{n}(|z|)^{-n}=C_{1} \sum_{n=-\infty}^{-1}\left(\frac{r_{1}}{|z|}\right)^{n}=C_{1} \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{|z|}{r_{1}}\right)^{k} \nonumber \]
Таким чином, для того, щоб ця сума\(|z|<r_1\) зійшлася, і тому РПЦ лівосторонньої послідовності має вигляд\(|z|<r_1\).
- Якщо\(\bf{x[n]}\) двостороння послідовність, ROC буде кільцем у z-площині, яка обмежена на внутрішній та зовнішній стороні полюсом. Двостороння послідовність - послідовність з нескінченною тривалістю в позитивному і негативному напрямках. З виводу двох вищезазначених властивостей випливає, що якщо\(-r_2<|z|<r_2\) сходиться, то сходяться і позитивно-часові, і негативно-часові частини і тим самим\(X(z)\). Тому РПЦ двосторонньої послідовності має вигляд\(-r_2<|z|<r_2\).
Приклади
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Візьмемо
\[x_{1}[n]=\left(\frac{1}{2}\right)^{n} u[n]+\left(\frac{1}{4}\right)^{n} u[n] \nonumber \]
Z-перетворення\(\left(\frac{1}{2}\right)^{n} u[n]\) є\(\frac{z}{z-\frac{1}{2}}\) з ROC в\(|z|>\frac{1}{2}\).
Z-перетворення\(\left(\frac{-1}{4}\right)^{n} u[n]\) є\(\frac{z}{z+\frac{1}{4}}\) з ROC в\(|z|>\frac{-1}{4}\).
Завдяки лінійності,
\ [\ почати {вирівнювання}
X_ {1} [z] &=\ розриву {z} {z-\ frac {1} {2}} +\ розриву {z} {z+\ frac {1} {4}}\ номер\
&=\ гідророзриву {2 z\ лівий (z-\ frac {1} {8}\ z)} {\ лівий (\ frac {1} {2}\ праворуч)\ ліворуч (z+\ frac {1} {4}\ праворуч)}
\ кінець {вирівнювання}\ nonumber\]
За спостереженням видно, що є два нулі, в\(0\) і\(\frac{1}{8}\), і два полюса, в\(\frac{1}{2}\), і\(\frac{−1}{4}\). Слідуючи вищевказаним властивостям, ROC є\(|z|>\frac{1}{2}\).
Приклад\(\PageIndex{2}\)
Тепер візьміть
\[x_{2}[n]=\left(\frac{-1}{4}\right)^{n} u[n]-\left(\frac{1}{2}\right)^{n} u[(-n)-1] \nonumber \]
Z-перетворення та ROC\(\left(\frac{-1}{4}\right)^{n} u[n]\) було показано у прикладі вище. Z-перетворення\(\left(-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right) u[(-n)-1]\) є\(\frac{z}{z-\frac{1}{2}}\) з РПЦ в\(|z|>\frac{1}{2}\).
Ще раз, по лінійності,
\ [\ почати {вирівнювання}
X_ {2} [z] &=\ розриву {z} {z+\ frac {1} {4}} +\ гідророзриву {z} {z-\ frac {1} {2}}\ номер\
&=\ frac {z\ лівий (2 z-\ frac {1} {8}\ праворуч)} {\ лівий (z+\ frac {1} {4}\ праворуч)\ ліворуч (z-\ frac {1} {2}\ праворуч)}
\ кінець {вирівнювання}\ nonumber\]
За спостереженням знову зрозуміло, що є два нулі, в\(0\) і\(\frac{1}{16}\), і два полюси\(\frac{1}{2}\), в, і\(\frac{−1}{4}\). Однак у цьому випадку ROC є\(|z|<\frac{1}{2}\).
Графічне розуміння ROC
За допомогою демонстрації дізнайтеся про область конвергенції для перетворення Лапласа.
Висновок
Зрозуміло, що для того, щоб створити систему, яка насправді корисна в силу того, що вона є причинно-наслідковою та стабільною BIBO, ми повинні переконатися, що вона знаходиться в регіоні конвергенції, що можна з'ясувати, подивившись на нульовий графік полюса. Область збіжності - це область на графіку полюс/нуль передавальної функції, в якій існує функція. Для корисного проектування фільтрів ми вважаємо за краще працювати з раціональними функціями, які можуть бути описані двома поліномами, по одному для визначення полюсів і нулів відповідно.