12.4: Обернене Z-перетворення
- Page ID
- 34121
Вступ
При використанні z-перетворення
\[X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} \nonumber \]
часто корисно вміти знайти\(x[n]\) даний\(X(z)\). Для цього існує принаймні 4 різних методу:
- Інспекція
- Розширення часткової фракції
- Розширення серії живлення
- Контур Інтеграція
Метод перевірки
Цей «метод» полягає в тому, щоб в основному ознайомитися з таблицями пар z-перетворення, а потім «зворотним інженером».
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Коли дають
\[X(z)=\frac{z}{z-\alpha} \nonumber \]
з РПЦ (розділ 12.6)
\[|z|>\alpha \nonumber \]
ми могли б визначити «шляхом перевірки», що
\[x[n]=\alpha^{n} u[n] \nonumber \]
Метод часткового дробу
При роботі з лінійними часовими інваріантними системами z-перетворення часто має вигляд.
\ [\ почати {вирівняти}
X (z) &=\ розриву {B (z)} {A (z)}\ номер\\
&=\ розриву {\ sum_ {k=0} ^ {M} b_ {k} z^ {-k}} {\ sum_ {k=0} ^ {N} a_ {k}
z^ {-k}}\ номер\]
Це також може виражатися як
\[X(z)=\frac{a_{0}}{b_{0}} \frac{\prod_{k=1}^{M} 1-c_{k} z^{-1}}{\prod_{k=1}^{N} 1-d_{k} z^{-1}} \nonumber \]
де\(c_k\) представляє ненульові нулі\(X(z)\) і\(d_k\) представляє ненульові полюси.
Якщо\(M<N\), то\(X(z)\) можна представити як
\[X(z)=\sum_{k=1}^{N} \frac{A_{k}}{1-d_{k} z^{-1}} \nonumber \]
Ця форма дозволяє легко інверсії кожного члена суми за допомогою методу перевірки та таблиці перетворення. Якщо ж чисельник є многочленом, то виникає необхідність використання частково-дробового розширення, щоб поставити\(X(z)\) в вищевказаному вигляді. Якщо\(M≥N\) потім\(X(z)\) може бути виражений як
\[X(z)=\sum_{r=0}^{M-N} B_{r} z^{-r}+\frac{\sum_{k=0}^{N-1} b_{k}^{\prime} z^{-k}}{\sum_{k=0}^{N} a_{k} z^{-k}} \nonumber \]
Приклад\(\PageIndex{2}\)
Знайти обернене z-перетворення
\[X(z)=\frac{1+2 z^{-1}+z^{-2}}{1-3 z^{-1}+2 z^{-2}} \nonumber \]
де знаходиться РПЦ\(|z|>2\). У цьому\(M=N=2\) випадку ми повинні використовувати довгий поділ, щоб отримати
\[X(z)=\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{2}+\frac{7}{2} z^{-1}}{1-3 z^{-1}+2 z^{-2}} \nonumber \]
Наступний множник знаменника.
\[X(z)=2+\frac{-1+5 z^{-1}}{\left(1-2 z^{-1}\right)\left(1-z^{-1}\right)} \nonumber \]
Тепер робимо частково-дробове розширення.
\[X(z)=\frac{1}{2}+\frac{A_{1}}{1-2 z^{-1}}+\frac{A_{2}}{1-z^{-1}}=\frac{1}{2}+\frac{\frac{9}{2}}{1-2 z^{-1}}+\frac{-4}{1-z^{-1}} \nonumber \]
Тепер кожен термін можна інвертувати за допомогою методу перевірки та таблиці z-transform. Таким чином, оскільки РПЦ є\(|z|>2\),
\[x[n]=\frac{1}{2} \delta[n]+\frac{9}{2} 2^{n} u[n]-4 u[n] \nonumber \]
Демонстрація розширення часткового дробу
Метод розширення серії Power
Коли z-перетворення визначається як степеневий ряд у вигляді
\[X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} \nonumber \]
то кожен член послідовності\(x[n]\) можна визначити, дивлячись на коефіцієнти відповідної потужності\(z^{−n}\).
Приклад\(\PageIndex{3}\)
Тепер подивіться на z-перетворення послідовності скінченної довжини.
\ [\ почати {вирівняний}
X (z) &=z^ {2}\ ліворуч (1+2 z^ {-1}\ праворуч)\ лівий (1-\ frac {1} {2} z^ {-1}\ праворуч)\ лівий (1+z^ {-1}\ праворуч)\\
&=z^ {2} +\ frac {5} {2} {2} z+\ frac {1} 2} +-z^ {-1}
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]
В даному випадку, так як полюсів не було, ми множимо на коефіцієнти\(X(z)\). Тепер, за допомогою інспекції, зрозуміло, що
\[x[n]=\delta[n+2]+\frac{5}{2} \delta[n+1]+\frac{1}{2} \delta[n]+-\delta[n-1] \nonumber \]
Однією з переваг методу розширення силових рядів є те, що багато функцій, що виникають у інженерних задачах, мають таблицю своїх силових рядів. Таким чином, такі функції, як журнал, гріх, експонента, sinh тощо, можуть бути легко інвертовані.
Приклад\(\PageIndex{4}\)
Припустимо
\[X(z)=\log _{n}\left(1+\alpha z^{-1}\right) \nonumber \]
Відзначивши, що
\[\log _{n}(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{-1^{n+1} x^{n}}{n} \nonumber \]
Тоді
\[X(z)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{-1^{n+1} \alpha^{n} z^{-n}}{n} \nonumber \]
Тому
\ [X (z) =\ лівий\ {\ begin {масив} {l}
\ frac {-1^ {n+1}\ альфа^ {n}} {n}\ текст {якщо} n\ geq 1\
0\ текст {якщо} n\ leq 0
\ end {масив}\ право. \ номер\]
Метод інтеграції контуру
Не вдаючись до деталей
\[x[n]=\frac{1}{2 \pi j} \oint_{r} X(z) z^{n-1} \mathrm{d} z \nonumber \]
де\(r\) - контур проти годинникової стрілки в РПЦ\(X(z)\) оточення початку z-площини. Для подальшого розширення цього методу знаходження зворотного потрібно знання теорії комплексних змінних і, таким чином, не буде розглядатися в цьому модулі.
Демонстрація інтеграції контуру
Висновок
Зворотне Z-перетворення дуже корисно знати для цілей проектування фільтра, і існує багато способів його обчислення, спираючись на багато розрізнених областей математики. Все, тим не менш, допомагає користувачеві досягти бажаного сигналу часової області, який потім може бути синтезований в апаратному (або програмному забезпеченні) для реалізації в реальному фільтрі.