12.1: Z-перетворення
- Page ID
- 34110
Вступ
Z-перетворення є узагальненням дискретного часу перетворення Фур'є (розділ 9.2). Він використовується тому, що DTFT не сходиться/існує для багатьох важливих сигналів, і все ж робить для z-перетворення. Він також використовується, оскільки він номінально чистіший, ніж DTFT. На відміну від DTFT, замість використання складних експоненціальних (Розділ 7.2) виду (e^ {j\ omega n}\), з чисто уявними параметрами, перетворення Z використовує більш загальне\(z^n\), де\(z\) складне. Z-перетворення, таким чином, дозволяє привести в силу теорії складних змінних в цифрову обробку сигналів.
Z-перетворення
Двостороння пара Z-перетворення
Хоча перетворення Z рідко вирішуються на практиці за допомогою інтеграції (таблиці та комп'ютери (наприклад, Matlab) набагато частіше зустрічаються), ми надамо тут двосторонню пару перетворення Z для цілей обговорення та виведення. Вони визначають пряме та зворотне перетворення Z. Зверніть увагу на подібність між прямим і зворотним перетвореннями. Це призведе до багатьох однакових симетрій, знайдених при аналізі Фур'є (розділ 5.1).
Z Трансформація
\[X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} \nonumber \]
Обернене перетворення Z
\[x[n]=\frac{1}{2 \pi j} \oint_{r} X(z) z^{n-1} \mathrm{d} z \nonumber \]
Примітка
Ми визначили двостороннє z-перетворення. Існує також одностороннє z-перетворення,
\[X(z)=\sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n} \nonumber \]
що корисно для розв'язання різницевих рівнянь з ненульовими початковими умовами. Це схоже на одностороннє перетворення Лапласа в безперервному часі.
Зв'язок між Z-перетворенням та DTFT
Поглянувши на рівняння, що описують Z-перетворення та перетворення Фур'є з дискретним часом:
Дискретне перетворення Фур'є
\[X\left(e^{j \omega}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) e^{-(j \omega n)} \nonumber \]
Z-Трансформація
\[X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} \nonumber \]
Ми можемо побачити багато подібностей; по-перше, що:
\[X\left(e^{j \omega}\right)=X(z) \nonumber \]
для всіх\(z=e^{j \omega}\)
Візуалізація Z-перетворення
З DTFT ми маємо складнозначну функцію дійсної змінної\(\omega\) (і\(2\pi\) періодичної). Z-перетворення є комплекснозначною функцією складнозначної змінної z.
Малюнок\(\PageIndex{1}\)
При перетворенні Фур'є ми мали складнозначну функцію чисто уявної змінної,\(F(j \omega)\). Це було те, що ми могли собі уявити за допомогою двох двовимірних графіків (реальної та уявної частин або величини та фази). Однак з Z ми маємо комплекснозначну функцію комплексної змінної. Для того, щоб вивчити величину і фазу або реальну і уявну частини цієї функції, ми повинні вивчити 3-вимірні ділянки поверхні кожного компонента.
Розглянемо z-перетворення, наведене\(H(z)=z\), як показано нижче.
Малюнок\(\PageIndex{2}\)
Відповідний DTFT має величину та фазу, наведені нижче.
Примітка
Хоча це законні способи перегляду сигналу в області Z, його досить важко намалювати та/або проаналізувати. З цієї причини був розроблений більш простий метод. Хоча це не буде детально обговорюватися тут, метод поляків і нулів набагато легше зрозуміти, і це спосіб перетворення Z і його безперервний аналог часу Лаплас-перетворення представлені графічно.
(а)
(б)
Що може робити система H? Це ідеальна всепрохідна лінійно-фазова система. Але що це означає?
Припустимо\(h[n]=\delta\left[n-n_{0}\right]\). Тоді
\ [\ почати {вирівняний}
H (z) &=\ sum_ {n=-\ infty} ^ {\ infty} h [n] z^ {-n}\\
&=\ sum_ {n=-\ infty} ^ {\ infty}\ дельта\ ліворуч [n_ {0}\ праворуч] z^ {-n}\\
=z^ {-n_ {0}}
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]
Таким чином,\(H(z)=z^{−n_0}\) відбувається\(z\) -перетворення системи, яка просто затримує введення по\(n_0\). \(H(z)\)\(z\)-перетворення одиниці-затримки.
Тепер розглянемо\(x[n]=\alpha^{n} u[n]\)
Малюнок\(\PageIndex{4}\)
\ [\ почати {вирівняти}
X (z) &=\ сума_ {n=-\ infty} ^ {\ infty} x [n] z^ {-n} =\ сума_ {n=0} ^ {\ infty}\ альфа^ {n}\ nonumber\\
&=\ сума {n = 0} ^ {\ infty}\ лівий\ c {\ альфа} {z}\ праворуч) ^ {n}\ nonumber\\
&=\ frac {1} {1-\ frac {\ альфа} {z}}\ ліворуч (\ текст {якщо}\ ліворуч |\ frac {\ альфа} {z}\ праворуч | <1\ праворуч) (\ текст {Геометричний ряд})\ nonumber\
&=\ frac {z} {z-\ альфа}
\ end {вирівнювання}\ nonumber\]
Що робити, якщо\(|\frac{\alpha}{z}|≥1\)? Тоді\(\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{\alpha}{z}\right)^{n}\) не сходиться! Тому кожного разу, коли ми обчислюємо\(z\) -tranform, ми також повинні вказати набір з\(z\), для яких існує\(z\) -transform. Це називається областю конвергенції (РПЦ).
Примітка: Використання комп'ютера для пошуку Z-перетворення
Matlab має дві функції,
ztrans
і
iztrans
які є частиною символічного набору інструментів, і знайдуть Z і обернені Z перетворення відповідно. Цей метод, як правило, кращий для більш складних функцій. Простіші та надумані функції зазвичай досить легко знайти за допомогою таблиць.
Застосування до дискретних часових фільтрів
\(z\)-transform може здатися трохи потворним. Ми повинні турбуватися про регіон зближення, проблеми стабільності тощо. Однак, врешті-решт, це варто, оскільки це виявляється надзвичайно корисним при аналізі цифрових фільтрів із зворотним зв'язком. Для прикладу розглянемо систему, проілюстровану нижче
Сюжети
Малюнок\(\PageIndex{5}\)
Ми можемо проаналізувати цю систему за допомогою рівнянь
\[v[n]=b_{0} x[n]+b_{1} x[n-1]+b_{2} x[n-2] \nonumber \]
і
\[y[n]=v[n]+a_{1} y[n-1]+a_{2} y[n-2] \nonumber \]
Якщо говорити загалом,
\[v[n]=\sum_{k=0}^{N} b_{k} x[n-k] \nonumber \]
і
\[y[n]=\sum_{k=1}^{M} a_{k} y[n-k]+v[n] \nonumber \]
або еквівалентно,
\[\sum_{k=0}^{N} b_{k} x[n-k]=y[n]-\sum_{k=1}^{M} a_{k} y[n-k]. \nonumber \]
Як виглядає\(z\) -перетворення цих відносин?
\[Z \sum_{k=0}^{M} a_{k} y[n-k]=Z \sum_{k=0}^{M} b_{k} x[n-k] \nonumber \]
\[\sum_{k=0}^{M} a_{k} Z\{y[n-k]\}=\sum_{k=0}^{M} b_{k} Z\{x[n-k]\} \nonumber \]
Зверніть увагу, що
\ [\ почати {вирівняний}
Z\ {y [n-k]\} &=\ sum_ {n=-\ infty} ^ {\ infty} y [n-k] z^ {-n}\\
&=\ sum_ {m=-\ infty} ^ {\ infty} y [m] z^ {-m} z^ {-k}\\
&=Y (z) {-k}
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]
Таким чином, відносини зводиться до
\ почати {вирівняний}
\ сума_ {k=0} ^ {М} a_ {k} Y (z) z^ {-k} &=\ сума {k=0} ^ {N} b_ {k} х (z) z^ {-k}\
Y (z)\ sum_ {k=0} ^ {М} a_ {k} z^ {k} z^ {-k} &k} &X z)\ сума_ {k=0} ^ {N} b_ {k} z^ {-k}
\\ розрив {Y (z)} {X (z)} &=\ фрак {\ sum_ {k=0} ^ {N} b_ {k} z^ {-k}} {\ сума {k=0} ^ {М} a_ {k} z^ {k} k}}
\ end {вирівняний}
Отже, враховуючи систему, наведену вище, ми можемо легко визначити передавальну функцію системи, і в кінцевому підсумку з співвідношенням двох поліномів\(z\): раціональної функції. Аналогічно, з огляду на раціональну функцію, легко реалізувати цю функцію в простій апаратній архітектурі.
Інтерактивна демонстрація Z-Transform
Висновок
Z-перетворення доводить корисну, більш загальну форму дискретного часового перетворення Фур'є. Він однаково добре застосовується до опису систем, а також сигналів, що використовують метод власної функції, і виявляється надзвичайно корисним у дизайні цифрового фільтра.