11.9: Безперервний дизайн фільтра часу

Вступ

Аналогові (Continuous-Time) фільтри корисні для найрізноманітніших застосувань, і особливо корисні тим, що їх дуже просто побудувати з використанням стандартних, пасивних компонентів R, L, C. Наявність заземлення в базовій теорії проектування фільтрів може допомогти вирішити найрізноманітніші проблеми обробки сигналів.

Оцінка частотної характеристики від Z-площини

Один з мотивуючих факторів для аналізу ділянок полюс/нуль обумовлений їх взаємозв'язком з частотною характеристикою системи. Виходячи з положення полюсів і нулів, можна швидко визначити частотну характеристику. Це результат відповідності частотної характеристики і передавальної функції, оціненої на одиничному колі на ділянках полюс/нуль. Частотна характеристика, або DTFT, системи визначається як:

\ [\ почати {вирівняний}
H (w) &=\ ліво.H (z)\ праворуч |_ {z, z = e ^ {j w}}\\ [4pt]
&=\ frac {\ стиль відображення\ sum_ {k=0} ^ {M} b_ {k} e^ {- (j w k)}} {\ displaystyle\ sum_ {k} ^ {K} ^ {N} a_ {k} e^ {- (j w k)}}
\ кінець {вирівняний}\ номер\]

Далі, факторингом передавальної функції в полюси і нулі і множивши чисельник і знаменник на,\(e^{jw}\) ми отримуємо наступні рівняння:

\[H(w)=\left|\frac{b_{0}}{a_{0}}\right| \frac{\displaystyle\prod_{k=1}^{M}\left|e^{j w}-c_{k}\right|}{\displaystyle\prod_{k=1}^{N}\left|e^{j w}-d_{k}\right|} \label{11.50} \]

З Equation\ ref {11.50} ми маємо частотну характеристику у формі, яка може бути використана для інтерпретації фізичних характеристик частотної характеристики фільтра. Чисельник і знаменник містять добуток термінів виду\(\left|e^{j w}-h\right|\), де або нуль,\(h\) що позначається\(c_k\) або полюс, позначається символом\(d_k\). Вектори зазвичай використовуються для представлення терміна та його частин на складній площині. Полюс або нуль\(h\), є вектором від початку до його розташування в будь-якому місці на складній площині і\(e^{jw}\) є вектором від початку до його розташування на одиничному колі. Вектор, що з'єднує ці дві точки\(\left|e^{j w}-h\right|\), з'єднує полюс або нуль розташування з місцем на одиничній окружності в залежності від величини\(w\). З цього ми можемо почати розуміти, як величина АЧХ - це відношення відстаней до полюсів і нуля, присутнього в z-площині, як\(w\) йде від нуля до пі. Ці характеристики дозволяють інтерпретувати\(|H(w)|\) наступним чином:

\[|H(w)|=\left|\frac{b_{0}}{a_{0}}\right| \frac{\displaystyle\prod \text { "distances from zeros" }}{\displaystyle\prod \text { "distances from poles" }} \nonumber \]

На закінчення, використовуючи відстані від одиничного кола до полюсів і нулів, ми можемо побудувати графік АЧХ системи. Як\(w\) йде від\(0\) до\(2 \pi\), наступні два властивості, взяті з вищевказаних рівнянь, вказують, як слід малювати\(|H(w)|\).

Під час руху по колу одиниці...

1. Якщо близько до нуля, то величина невелика. Якщо нуль знаходиться на одиничному колі, то частотна характеристика дорівнює нулю в цій точці.
2. Якщо близько до полюса, то величина велика. Якщо полюс знаходиться на одиничному колі, то частотна характеристика переходить до нескінченності в цій точці.

Малювання частотної характеристики від полюса/нульового ділянки

Давайте тепер розглянемо кілька прикладів визначення величини АЧХ з графіка полюс/нуль z-перетворення. Якщо ви забули або не знайомі з полюсами/нульовими ділянками, будь ласка, зверніться до модуля Полюс/Нульові графіки (розділ 12.5).

Приклад\(\PageIndex{1}\)

У цьому першому прикладі ми розглянемо дуже просте z-перетворення, показане нижче:

\[H(z)=z+1=1+z^{−1} \nonumber \]

\[H(w)=1+e^{−(jw)} \nonumber \]

Для цього прикладу деякі вектори, представлені\(\left|e^{j w}-h\right|\), для випадкових значень\(w\), явно малюються на комплексній площині, показаної на малюнку нижче. Ці вектори показують, як змінюється амплітуда частотної характеристики, коли ww переходить від 00 до 2π2, а також показують фізичне значення термінів у рівнянні\ ref {11.50} вище. Можна бачити, що коли\(w=0\), вектор найдовший і, таким чином, АЧХ матиме найбільшу амплітуду тут. У міру\(w\)\(\pi\) наближення довжина векторів зменшується, як і амплітуда\(|H(w)|\). Оскільки в перетворенні немає полюсів, існує лише один векторний термін, а не співвідношення, як показано в Equation\ ref {11.50}.

Рисунок\(\PageIndex{1}\): (a) Полюс/Нульовий графік представляє графік полюса/нуль з кількома представницькими векторами. (b) Частотна характеристика:\(|H(w)|\) малюнок показує частотну характеристику з піком +2 і графіком між плюсом і мінусом\(\pi\).

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Для цього прикладу аналізується більш складна передавальна функція, щоб представити частотну характеристику системи.

\[H(z)=\frac{z}{z-\frac{1}{2}}=\frac{1}{1-\frac{1}{2} z^{-1}} \nonumber \]

\[H(w)=\frac{1}{1-\frac{1}{2} e^{-(j w)}} \nonumber \]

Нижче ми можемо побачити дві фігури, описані вищевказаними рівняннями. Рисунок\(\PageIndex{2(a)}\) представляє базовий полюс/нульовий графік z-перетворення,\(H(w)\). \(\PageIndex{2(b)}\)На малюнку показана величина АЧХ. З формул та тверджень у попередньому розділі ми бачимо, що коли\(w=0\) частота буде піковою, оскільки саме при цьому значенні полюс є найближчим до одиничного кола.\(w\) Співвідношення з Equation\ ref {11.50} допомагає нам побачити математику, що стоїть за цим висновком, і зв'язок між відстанями від одиничного кола і полюсами і нулями. Коли\(w\) рухається від\(0\) до\(\pi\), ми бачимо, як нуль починає маскувати ефекти полюса і тим самим змушувати частотну характеристику ближче до\(0\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): (a) Полюс/Нульовий графік являє собою графік полюса/нуль, тоді як частотна характеристика (\(|H(w)|\)) показує частотну характеристику з піком +2 і графіком між плюсом і мінус\(\pi\).

Типи фільтрів

Баттерворт Фільтри

Фільтр Баттерворта є найпростішим фільтром. Він може бути побудований з пасивних ланцюгів R, L, C. Величина передавальної функції для цього фільтра дорівнює

Величина функції перенесення фільтра Баттерворта

\[|H(j \omega)|=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{\omega}{\omega_{c}}\right)^{2 n}}} \nonumber \]

де\(n\) - порядок роботи фільтра і\(\omega_c\) частота зрізу. Частота зрізу - це частота, де величина відчуває падіння 3 дБ (де\(|H(j \omega)|=\frac{1}{\sqrt{2}}\)).

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Три різних порядку низьких частот аналогових фільтрів Баттерворта:\(n={1,4,10}\). Зі\(n\) збільшенням фільтр більш наближається до ідеальної реакції нижніх частот цегляної стіни.

Важливими аспектами малюнка\(\PageIndex{3}\) є те, що він не пульсація в смузі пропускання або смузі зупинки, як правило, інші фільтри, і що чим більше nn, тим різкіше відсічення (тим менша смуга переходу).

Фільтри Баттерворта дають передавальні функції\((H(j \omega)\) і\(H(s)\)), які є раціональними функціями. Вони також мають тільки полюси, в результаті чого з'являється передавальна функція форми

\[\frac{1}{\left(s-s_{1}\right)\left(s-s_{2}\right) \cdots\left(s-s_{n}\right)} \nonumber \]

і полюс-нульовий сюжет

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Полюси 10-го порядку (\(n=5\)) низькочастотного фільтра Баттерворта.

Зверніть увагу, що полюси лежать по колу в s-площині.

Фільтри Чебишева

Фільтр Баттерворта у багатьох випадках не дає достатньо хорошого наближення по всій смузі пропускання. Наближення серії Тейлора часто не відповідає тому, як наведені технічні характеристики для фільтрів. Альтернативна міра похибки - це максимум абсолютного значення різниці між фактичною реакцією фільтра та ідеалом. Це вважається протягом загальної смуги пропускання. Це міра похибки Чебишева, яка була визначена та застосована до задачі проектування фільтра FIR. Для фільтра ІМВ помилка Чебишева зводиться до мінімуму по смузі пропускання, а для визначення продуктивності смуги зупинки\(\omega = \infty\) використовується наближення серії Тейлора. Ця суміш методів у випадку ІМВ називається фільтром Чебишева, і в результаті виходять прості конструктивні формули, як і для фільтра Баттерворта.

Конструкція фільтрів Чебишева особливо цікава, адже результати дуже витонченої теорії гарантують, що побудова частотно-відгукової функції з належною формою рівних пульсацій в похибці призведе до мінімальної помилки Чебишева без явного мінімізації нічого. Це дозволяє отримати простий набір формул проектування, які можна розглядати як узагальнення формул Баттерворта.

Форма величини в квадраті частотно-відкликаної функції для фільтра Чебишева дорівнює

\[|F(j \omega)|^{2}=\frac{1}{1+\epsilon^{2} C_{N}(\omega)^{2}} \label{11.54} \]

де\(C_N(\omega)\) - поліном Чебишева NTH-порядку і\(\epsilon\) параметр, який керує розміром пульсацій. Цей многочлен в\(\omega\) має дуже особливі характеристики, які призводять до оптимальності функції відгуку (Equation\ ref {11.54}).

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Частотна характеристика фільтра Чебишева п'ятого порядку

Фільтри Бесселя

Вставте інформацію про фільтр Бесселя

Еліптичні фільтри

Існує ще один метод, який використовує критерій помилки Чебишева як в смузі пропускання, так і в смузі зупинки. Це четверта можлива комбінація наближення серій Чебишева і Тейлора в смузі пропускання і стоп-смузі. Отриманий фільтр називається фільтром еліптичних функцій, оскільки еліптичні функції зазвичай використовуються для обчислення полюсів і нульових місць. Його також іноді називають фільтром Кауера або раціональним фільтром Чебишева, і він має однакову похибку наближення пульсацій як в смугах проходу, так і в стоп-діапазонах.

Критерії похибки фільтра еліптичної функції особливо добре підходять до того, як часто задаються технічні характеристики фільтрів. З цієї причини використання конструкції фільтра еліптичної функції зазвичай дає фільтр найнижчого порядку з чотирьох класичних методів проектування фільтрів для заданого набору специфікацій. На жаль, конструкція цього фільтра є найскладнішою з чотирьох. Однак через ефективність цього класу фільтрів варто отримати деяке розуміння математики, що стоїть за процедурою проектування.

У цьому розділі намальовано контур теорії проектування фільтрів еліптичних функцій. Деталі і властивості самих еліптичних функцій слід просто прийняти, а увагу приділити розумінню загальної картини. Більш повна розробка доступна в.

Оскільки як смуга пропускання, так і стоп-смуга наближення знаходяться по всій смузі, повинна бути визначена перехідна смуга між ними. Використовуючи нормований край смуги пропускання, смуги визначаються

\ [\ begin {масив} {c}
0<\ омега<1\ квад\ текст {смуга пропускання}\\
1 <\ омега<\ омега_ {s}\ quad\ текст {перехідна смуга}\
\ омега_ {s} <\ омега<\ infty\ quad\ text {stopband}
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Це проілюстровано на рис\(\PageIndex{6}\).

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Аналогова еліптична функція третього порядку Фільтр нижніх частот, що показує брижі та краю смуги

Характеристики фільтра еліптичної функції найкраще описати з точки зору чотирьох параметрів, що визначають частотну характеристику:

1. Максимальна варіація або пульсація в смузі пропускання\(\delta_{1}\),
2. Ширина перехідної смуги\((\omega_s−1)\),
3. Максимальна реакція або пульсація в смузі зупинки\(\delta_2\), і
4. Порядок роботи фільтра\(N\).

Результатом проектування є те, що для будь-яких трьох заданих параметрів четвертий - мінімальний. Це дуже гнучкий і потужний опис частотної характеристики фільтра.

Форма частотно-відгукової функції є узагальненням її для фільтра Чебишева

\[F F(j \omega)=|F(j \omega)|^{2}=\frac{1}{1+\epsilon^{2} G^{2}(\omega)} \nonumber \]

де

\[F F(s)=F(s) F(-s) \nonumber \]

з\(F(s)\) прототипом функції передачі аналогового фільтра, подібною до функції перенесення фільтра Чебишева. \(G(\omega)\)є раціональною функцією, яка наближає нуль у смузі пропускання та нескінченність у смузі зупинки. Визначення цієї функції є узагальненням визначення полінома Чебишева.

Демонстрація дизайну фільтра

Висновок

Як видно, в дизайні фільтрів є великий обсяг інформації, більше, ніж може охопити вступний модуль. Навіть для проектування дискретних інфрачервоних фільтрів важливо пам'ятати, що існує набагато більший обсяг літератури для методів проектування для світу обробки аналогових сигналів, ніж для цифрового. Тому часто простіше і практичніше реалізувати фільтр ІМВ стандартними аналоговими методами, а потім дискретизувати його за допомогою таких методів, як двостороннє перетворення.