11.8: Диференціальні рівняння

Диференційні рівняння

Часто корисно описувати системи, що використовують рівняння, що включають швидкість зміни певної кількості за допомогою диференціальних рівнянь. Нагадаємо, що один важливий підклас диференціальних рівнянь, лінійний постійний коефіцієнт звичайних диференціальних рівнянь, набуває вигляду

\[A y(t)=x(t) \label{11.27} \]

де\(A\) - диференціальний оператор виду

\[A=a_{n} \frac{d^{n}}{d t^{n}}+a_{n-1} \frac{d^{n-1}}{d t^{n-1}}+\ldots+a_{1} \frac{d}{d t}+a_{0} \label{11.28} \]

Диференціальне рівняння в Equation\ ref {11.27} описує деяку систему, змодельовану\(A\) з функцією вхідного форсування\(x(t)\), яка створює вихідний сигнал рішення\(y(t)\). Однак одностороннє перетворення Лапласа дозволяє знайти рішення проблем початкового значення в тому, що зазвичай є набагато простішим методом. Зокрема, це значно спрощує процедуру неоднорідних диференціальних рівнянь.

Загальні формули для диференціального рівняння

Як коротко сказано у визначенні вище, диференціальне рівняння є дуже корисним інструментом для опису та обчислення зміни виходу системи, описаної формулою для даного вхідного сигналу. Ключовою властивістю диференціального рівняння є його здатність легко знаходити перетворення системи.\(H(s)\) У наступних двох підрозділах ми розглянемо загальну форму диференціального рівняння та загальне перетворення в перетворення Лапласа безпосередньо з диференціального рівняння.

Перетворення на перетворення Лапласа

Ми можемо легко узагальнити передавальну функцію\(H(s)\), для будь-якого диференціального рівняння. Нижче наведено кроки, зроблені для перетворення будь-якого диференціального рівняння в його передавальну функцію, тобто перетворення Лапласа. Перший крок передбачає перетворення Фур'є всіх термінів у [посилання]. Потім ми використовуємо властивість лінійності, щоб витягнути перетворення всередині підсумовування та властивість зміни часу LaPlace-transform, щоб змінити терміни, що зсуваються у часі, на експоненціальні. Як тільки це буде зроблено, ми дійдемо до наступного рівняння:\(a_0=1\).

\[Y(s)=-\sum_{k=1}^{N} a_{k} Y(s) s^{-k}+\sum_{k=0}^{M} b_{k} X(s) s^{-k} \nonumber \]

\ [\ почати {вирівняти}
H (s) &=\ розриву {Y (s)} {X (s)}\ числове число\\
&=\ фрак {\ сума {k=0} ^ {М} b_ {k} s^ {-k}} {-k}} {1+\ сума {k = 1} ^ {N} a_ {k} s^ {-k}} {-k}
\ кінець вирівняти}\ nonumber\]

Перетворення в частотну характеристику

Після того, як перетворення Лапласа було обчислено з диференціального рівняння, ми можемо піти на крок далі, щоб визначити частотну характеристику системи, або фільтр, який представлений диференціальним рівнянням.

Примітка

Пам'ятайте, що причина, по якій ми маємо справу з цими формулами, полягає в тому, щоб допомогти нам у проектуванні фільтрів. LCCDE є одним з найпростіших способів представлення фільтрів FIR. Маючи можливість знайти частотну характеристику, ми зможемо подивитися на основні властивості будь-якого фільтра, представленого простим LCCDE.

Нижче наведено загальну формулу частотної характеристики перетворення Лапласа. Перетворення - це просто питання прийняття формули LaPlace-Transform та\(H(s)\) заміни кожного екземпляра\(s\) на\(e^{iw}\).

\ [\ почати {вирівняти}
H (w) &=\ ліво.H (s)\ право|_ {s, s=e^ {j w}}\ номер\\
&=\ фрак {\ sum_ {k=0} ^ {М} b_ {k} e^ {- (j w k)}} {\ sum_ {k=0} ^ {N} a_ {k} e^ {- (j w k)}}
\ кінець {вирівняти}\ номер\]

Як тільки ви зрозумієте виведення цієї формули, погляньте на модуль, що стосується дизайну фільтра з перетворення Лапласа (розділ 12.9), щоб дізнатись, як усі ці ідеї перетворення Лапласа (розділ 11.1), Диференціальне рівняння та Полюс/Нульові ділянки (розділ 12.5) відіграють певну роль у проектуванні фільтрів.

Розв'язування LCCDE

Для того, щоб лінійне різницеве рівняння з постійним коефіцієнтом було корисним при аналізі системи LTI, ми повинні мати можливість знайти вихід системи на основі відомого входу та набору початкових умов.\(x(t)\) Для розв'язання LCCDE існують два загальні методи: прямий метод і непрямий метод, останній заснований на LAPLACE-перетворенні. Нижче ми коротко обговоримо формули для вирішення LCCDE з використанням кожного з цих методів.

прямий метод

Остаточним рішенням виведення на основі прямого методу є сума двох частин, виражена в наступному рівнянні:

\[y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t) \nonumber \]

Перша частина\(y_{h}(t)\), називається однорідним розчином, а друга частина\(y_{h}(t)\), називається конкретним розчином. Наступний метод дуже схожий на той, який використовується для вирішення багатьох диференціальних рівнянь, тому якщо ви взяли курс диференціального числення або використовували диференціальні рівняння раніше, це повинно здатися дуже знайомим.

однорідний розчин

Почнемо з припущення, що вхід дорівнює нулю,\(x(t)=0\). Тепер нам просто потрібно вирішити однорідне диференціальне рівняння:

\[\sum_{k=0}^{N} a_{k} y(t-k)=0 \nonumber \]

Для того щоб вирішити цю проблему, зробимо припущення, що рішення має форму експоненції. Ми будемо використовувати лямбда,\(\lambda\), для представлення наших експоненціальних термінів. Тепер нам належить вирішити наступне рівняння:

\[\sum_{k=0}^{N} a_{k} \lambda^{t-k}=0 \nonumber \]

Ми можемо розширити це рівняння і коефіцієнт з усіх лямбда-термінів. Це дасть нам великий многочлен в дужках, який іменується характеристичним многочленом. Коріння цього многочлена будуть ключем до вирішення однорідного рівняння. Якщо є всі чіткі корені, то загальне рішення рівняння буде наступним:

\[y_{h}(t)=C_{1}\left(\lambda_{1}\right)^{t}+C_{2}\left(\lambda_{2}\right)^{t}+\ldots+C_{N}\left(\lambda_{N}\right)^{t} \nonumber \]

Однак якщо характеристичне рівняння містить кілька коренів, то вищевказане загальне рішення буде дещо іншим. Нижче ми маємо модифіковану версію рівняння, де\(\lambda_1\) має\(K\) кілька коренів:

\[y_{h}(t)=C_{1}\left(\lambda_{1}\right)^{t}+C_{1} t\left(\lambda_{1}\right)^{t}+C_{1} t^{2}\left(\lambda_{1}\right)^{t}+\ldots+C_{1} t^{K-1}\left(\lambda_{1}\right)^{t}+C_{2}\left(\lambda_{2}\right)^{t}+\ldots+C_{N}\left(\lambda_{N}\right)^{t} \nonumber \]

Конкретне рішення

Конкретним рішенням\(y_p(t)\), буде будь-яке рішення, яке вирішить загальне диференціальне рівняння:

\[\sum_{k=0}^{N} a_{k} y_{p}(t-k)=\sum_{k=0}^{M} b_{k} x(t-k) \nonumber \]

Для того, щоб вирішити, наша здогадка для рішення\(y_p(t)\) прийме форму введення,\(x(t)\). Після вгадання на рішення вищевказаного рівняння, що включає конкретне рішення, потрібно лише включити рішення до диференціального рівняння та вирішити його.

непрямий метод

Непрямий метод використовує зв'язок між диференціальним рівнянням та перетворенням Лапласа, розглянутим раніше, для пошуку рішення. Основна ідея полягає в перетворенні диференціального рівняння в перетворення Лапласа, як описано вище, щоб отримати отриманий результат,\(Y(s)\). Потім, оберненим перетворенням цього і використовуючи часткове дробне розширення, ми можемо прийти до рішення.

\[L\left\{\frac{d}{d t} y(t)\right\}=s Y(s)-y(0) \nonumber \]

Це можна інтерактивно розширити на похідну довільного порядку, як у Equation\ ref {11.39}.

\[L\left\{\frac{d^{n}}{d t^{n}} y(t)\right\}=s^{n} Y(s)-\sum_{m=0}^{n-1} s^{n-m-1} y^{(m)}(0) \label{11.39} \]

Тепер можна взяти перетворення Лапласа кожної сторони диференціального рівняння

\[L\left\{\sum_{k=0}^{n} a_{k} \frac{d^{k}}{d t^{k}} y(t)\right\}=L\{x(t)\} \nonumber \]

що за лінійністю призводить до

\[\sum_{k=0}^{n} a_{k} L\left\{\frac{d^{k}}{d t^{k}} y(t)\right\}=L\{x(t)\} \nonumber \]

і за диференціаційними властивостями в

\[\sum_{k=0}^{n} a_{k}\left(s^{k} L\{y(t)\}-\sum_{m=0}^{k-1} s^{k-m-1} y^{(m)}(0)\right)=L\{x(t)\}. \nonumber \]

Перевпорядкування термінів для виділення перетворення Лапласа вихідних даних,

\[L\{y(t)\}=\frac{L\{x(t)\}+\sum_{k=0}^{n} \sum_{m=0}^{k-1} a_{k} s^{k-m-1} y^{(m)}(0)}{\sum_{k=0}^{n} a_{k} s^{k}}. \nonumber \]

Таким чином, встановлено, що

\[Y(s)=\frac{X(s)+\sum_{k=0}^{n} \sum_{m=0}^{k-1} a_{k} s^{k-m-1} y^{(m)}(0)}{\sum_{k=0}^{n} a_{k} s^{k}} \label{11.44}. \]

Для того, щоб знайти вихід, залишається лише знайти перетворення Лапласа\(X(s)\) вхідних даних, підставити початкові умови та обчислити обернене перетворення Лапласа результату. Часткові часткові розширення часто потрібні для цього останнього кроку. Це може здатися складним, дивлячись на Equation\ ref {11.44}, але це часто легко на практиці, особливо для диференціальних рівнянь низького порядку. Рівняння\ ref {11.44} також може використовуватися для визначення передавальної функції та частотної характеристики.

Як приклад розглянемо диференціальне рівняння

\[\frac{d^{2}}{d t^{2}} y(t)+4 \frac{d}{d t} y(t)+3 y(t)=\cos (t) \nonumber \]

з початковими умовами\(y^{\prime}(0)=1\) і\(y(0)=0\). Використовуючи метод, описаний вище, перетворення Лапласа розв'язку\(y(t)\) задається

\[Y(s)=\frac{s}{\left(s^{2}+1\right)(s+1)(s+3)}+\frac{1}{(s+1)(s+3)}. \nonumber \]

Виконуючи декомпозицію часткового дробу, це також дорівнює

\[Y(s)=0.25 \frac{1}{s+1}-0.35 \frac{1}{s+3}+0.1 \frac{s}{s^{2}+1}+0.2 \frac{1}{s^{2}+1}. \nonumber \]

Обчислення оберненого перетворення Лапласа,

\[y(t)=\left(0.25 e^{-t}-0.35 e^{-3 t}+0.1 \cos (t)+0.2 \sin (t)\right) u(t). \nonumber \]

Можна перевірити, що це задовольняє, що це задовольняє як диференціальному рівнянню, так і початковим умовам.

Резюме

Однією з найважливіших концепцій DSP є можливість належним чином представляти відносини введення/виведення до даної системи LTI. Лінійне різницеве рівняння з постійним коефіцієнтом (LCCDE) служить способом вираження саме цього співвідношення в дискретній системі часу. Написання послідовності входів і виходів, які представляють характеристики системи LTI, як різницевого рівняння допомагає зрозуміти і маніпулювати системою.