11.5: Полюси і нулі в S-площині

Last updated
Save as PDF

Page ID: 34014

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вступ до полюсів і нулів перетворення Лапласа

Якісно проаналізувати перетворення Лапласа (розділ 11.1) та Z-перетворення досить складно, оскільки відображення їх величини та фази чи дійсної частини та уявної частини призводять до множинних відображень двовимірних поверхонь у тривимірному просторі. З цієї причини дуже часто вивчають графік полюсів і нулів передавальної функції, щоб спробувати отримати якісне уявлення про те, що робить система.

Після того, як Laplace-перетворення системи було визначено, можна використовувати інформацію, що міститься в поліномах функції, щоб графічно представити функцію та легко спостерігати за багатьма визначальними характеристиками. Laplace-Transform матиме наведену нижче структуру, засновану на раціональних функціях (розділ 12.7):

\[H(s)=\frac{P(s)}{Q(s)} \nonumber \]

Два\(P(s)\) многочлени, і\(Q(s)\), дозволяють знайти полюси і нулі перетворення Лапласа.

Визначення: нулі

Значення (и) для ss де\(P(s)=0\).
Складні частоти, які роблять загальний коефіцієнт посилення передачі фільтра функцією нулю.

Визначення: полюси

Значення (и) для\(s\) де\(Q(s)=0\).
Складні частоти, які роблять загальний коефіцієнт посилення функції передачі фільтра нескінченним.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Нижче наведена проста передавальна функція з показаними нижче полюсами і нулями.

\[H(s)=\frac{s+1}{\left(s-\frac{1}{2}\right)\left(s+\frac{3}{4}\right)} \nonumber \]

Нулями є:\(\{-1\}\)

Полюси бувають:\(\left\{\frac{1}{2},-\frac{3}{4}\right\}\)

Літак S

Після того, як полюси і нулі будуть знайдені для заданого перетворення Лапласа, їх можна нанести на площину S. S-площина являє собою складну площину з уявною і дійсною віссю, що відноситься до складнозначної змінної\(z\). Положення на комплексній площині задається\(re^{j \theta}\) і позначається кут від позитивної, реальної осі навколо площини\(\theta\). При відображенні полюсів і нулів на площину полюси позначаються «x», а нулі - «o». На малюнку нижче показана S-Plane, а приклади побудови нулів і полюсів на площині можна знайти в наступному розділі.

Приклади полюса/нульових ділянок

У цьому розділі наведено кілька прикладів знаходження полюсів і нулів передавальної функції, а потім побудови їх на площині S.

Приклад\(\PageIndex{2}\): Simple Pole/Zero Plot

\[H(s)=\frac{s}{\left(s-\frac{1}{2}\right)\left(s+\frac{3}{4}\right)} \nonumber \]

Нулями є:\(\{0\}\)

Полюси бувають:\(\left\{\frac{1}{2},-\frac{3}{4}\right\}\)

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Використовуючи нулі та полюси, знайдені з передавальної функції, один нуль відображається нулю, а два полюси розміщуються в\(\frac{1}{2}\) і\(−\frac{3}{4}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\): Complex Pole/Zero Plot

\[H(s)=\frac{(s-j)(s+j)}{\left(s-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2} j\right)\right)\left(s-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} j\right)} \nonumber \]

Нулями є:\(\{j,-j\}\)

Полюси бувають:\(\left\{-1, \frac{1}{2}+\frac{1}{2} j, \frac{1}{2}-\frac{1}{2} j\right\}\)

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Використовуючи нулі та полюси, знайдені з передавальної функції, нулі відображаються на\(\pm(j)\), а полюси розміщуються в\(−1\)\(\frac{1}{2}+\frac{1}{2} j\), і\(\frac{1}{2}-\frac{1}{2} j\)

Приклад\(\PageIndex{4}\): Pole-Zero Cancellation

Проста помилка щодо полюсів і нулів - думати, що функція подібна\(\frac{(s+3)(s-1)}{s-1}\) така ж, як\(s+3\). Теоретично вони еквівалентні, оскільки полюс і нуль при\(s=1\) скасуванні один одного в тому, що відоме як скасування полюс-нуль. Однак подумайте, що може статися, якби це була передавальна функція системи, яка була створена з фізичними схемами. При цьому дуже малоймовірно, що полюс і нуль залишилися б точно на одному місці. Наприклад, незначна зміна температури може призвести до того, що один з них трохи рухатиметься. Якщо це сталося, в цій області створюється величезна кількість волатильності, оскільки відбувається зміна від нескінченності на полюсі до нуля на нулі в дуже малому діапазоні сигналів. Це, як правило, дуже поганий спосіб спробувати усунути полюс. Набагато кращий спосіб - використовувати теорію управління для переміщення полюса в краще місце.

Примітка: Повторювані полюси і нулі

Можна мати більше одного полюса або нуля в будь-якій заданій точці. Наприклад, функція передачі дискретного часу\(H(z)=z^2\) матиме два нулі на початку, а функція безперервного часу\(H(s)=\frac{1}{s^{25}}\) матиме 25 полюсів у початку.

MATLAB - Якщо доступ до MATLAB доступний, то ви можете використовувати його функції, щоб легко створювати полюс/нульові ділянки. Нижче наведено коротку програму, яка відображає полюси та нулі з наведеного вище прикладу на Z-Plane.

	
	% Set up vector for zeros
	z = [j ; -j];

	% Set up vector for poles
	p = [-1 ; .5+.5j ; .5-.5j];

	figure(1);
	zplane(z,p);
	title('Pole/Zero Plot for Complex Pole/Zero Plot Example');

Інтерактивна демонстрація полюсів і нулів

Демонстрація свердла з нульовим полюсом — Малюнок\(\PageIndex{4}\): Взаємодійте (коли в Інтернеті) з Mathematica CDF демонструє полюс/нульові графіки. Щоб завантажити, клацніть правою кнопкою миші та збережіть ціль як .cdf.

Додатки для ділянок з нульовим полюсом

Теорія стабільності та управління

Тепер, коли ми знайшли та побудували полюси та нулі, ми повинні запитати, що дає нам ця ділянка. В основному те, що ми можемо зібрати з цього, полягає в тому, що величина передавальної функції буде більшою, коли вона ближче до полюсів, і меншою, коли вона ближче до нулів. Це дає нам якісне розуміння того, що система робить на різних частотах і має вирішальне значення для обговорення стабільності (розділ 3.6).

Полюс/Нульові ділянки та область конвергенції

Область збіжності (ROC) для\(X(z)\) в комплексній Z-площині може бути визначена за графіком полюс/нуль. Хоча можуть бути можливі кілька областей конвергенції, де кожна з них відповідає різній імпульсній характеристиці, є деякі варіанти, які є більш практичними. ROC може бути обраний, щоб зробити передавальну функцію причинною та/або стабільною залежно від полюса/нульового ділянки.

Властивості фільтра з ROC

Якщо РПЦ виходить назовні від крайнього полюса, то система є причинно-наслідковою.
Якщо в РПЦ входить одиничний коло, значить, система стабільна.

Нижче наведено графік полюса/нуль з можливим ROC Z-перетворення в простому полюсі/нульовому графіку (приклад,\(\PageIndex{2}\) розглянутий раніше. Затінена область вказує ROC, вибраний для фільтра. З цієї цифри ми бачимо, що фільтр буде як причинним, так і стабільним, оскільки обидва перераховані вище умови виконуються.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

\[H(z)=\frac{z}{\left(z-\frac{1}{2}\right)\left(z+\frac{3}{4}\right)} \nonumber \]

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Затінена область представляє обраний ROC для функції передачі.

Частотна характеристика та полюс/нульові графіки

Причина, по якій корисно зрозуміти та створити ці полюси/нульові ділянки, полягає в їх здатності допомогти нам легко розробити фільтр. Виходячи з розташування полюсів і нулів, можна швидко зрозуміти величину відгуку фільтра. Крім того, починаючи з графіка полюс/нуль, можна спроектувати фільтр і отримати його функцію передачі дуже легко.

Висновок

Полюсні нульові графіки явно досить корисні при вивченні перетворення Лапласа та Z, надаючи нам метод візуалізації часом заплутаних математичних функцій.