11.4: Обернене перетворення Лапласа
- Page ID
- 34013
Вступ
При використанні Laplace-перетворення (Розділ 11.1)
\[H(s)=\sum_{t=-\infty}^{\infty} h(t) s^{-t} \nonumber \]
часто корисно вміти знайти\(h(t)\) даний\(H(s)\). Існує щонайменше 4 різних методів для цього:
- Інспекція
- Розширення часткової фракції
- Розширення серії живлення
- Контур Інтеграція
Метод інспекції
Цей «метод» полягає в тому, щоб в основному ознайомитися з таблицями пари LaPlace-Transform (Розділ 11.2), а потім «зворотний інженер».
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Коли дають
\[H(s)=\frac{s}{s-\alpha} \nonumber \]
з РПЦ (розділ 12.6)
\[|s|>\alpha \nonumber \]
ми могли б визначити «шляхом перевірки», що
\[h(t)=\alpha^{t} u(t) \nonumber \]
Метод часткового дробу
При роботі з лінійними часовими інваріантними системами z-перетворення часто має вигляд
\ почати {вирівняні}
Н (и) &=\ розриву {B (s)} {A (s)}\\
&=\ розриву {\ sum_ {k=0} ^ {М} b_ {k} s^ {-k}} {\ sum_ {k=0} ^ {N} a_ {k} s^ {-k}}}
\ кінець {вирівняний}
Це також може виражатися як
\[H(s)=\frac{a_{0}}{b_{0}} \frac{\prod_{k=1}^{M} 1-c_{k} s^{-1}}{\prod_{k=1}^{N} 1-d_{k} s^{-1}} \nonumber \]
де\(c_k\) представляє ненульові нулі\(H(s)\) і\(d_k\) представляє ненульові полюси.
Якщо\(M<N\), то\(H(s)\) можна представити як
\[H(s)=\sum_{k=1}^{N} \frac{A_{k}}{1-d_{k} s^{-1}} \nonumber \]
Ця форма дозволяє легко інверсії кожного члена суми за допомогою методу перевірки та таблиці перетворення. Якщо ж чисельник - многочлен, то виникає необхідність використання частково-дробового розширення, щоб поставити\(H(s)\) в вищевказаному вигляді. Якщо\(M≥N\) то\(H(s)\) може бути виражено як
\[H(s)=\sum_{r=0}^{M-N} B_{r} s^{-r}+\frac{\sum_{k=0}^{N-1} b_{k}^{\prime} s^{-k}}{\sum_{l=0}^{N} a_{k} s^{-k}} \nonumber \]
Приклад\(\PageIndex{2}\)
Знайти обернене z-перетворення
\[H(s)=\frac{1+2 s^{-1}+s^{-2}}{1-3 s^{-1}+2 s^{-2}} \nonumber \]
де знаходиться РПЦ\(|s|>2\). У цьому\(M=N=2\) випадку ми повинні використовувати довгий поділ, щоб отримати
\[H(s)=\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{2}+\frac{7}{2} s^{-1}}{1-3 s^{-1}+2 s^{-2}} \nonumber \]
Наступний множник знаменника.
\[H(s)=2+\frac{-1+5 s^{-1}}{\left(1-2 s^{-1}\right)\left(1-s^{-1}\right)} \nonumber \]
Тепер робимо частково-дробове розширення.
\[H(s)=\frac{1}{2}+\frac{A_{1}}{1-2 s^{-1}}+\frac{A_{2}}{1-s^{-1}}=\frac{1}{2}+\frac{\frac{9}{2}}{1-2 s^{-1}}+\frac{-4}{1-s^{-1}} \nonumber \]
Тепер кожен термін можна інвертувати за допомогою методу перевірки та таблиці Laplace-Transform. Таким чином, оскільки РПЦ є\(|s|>2\),
\[h(t)=\frac{1}{2} \delta(t)+\frac{9}{2} 2^{t} u(t)-4 u(t) \nonumber \]
Демонстрація розширення часткового дробу
Малюнок\(\PageIndex{2}\): відео з моєї академії Хана
Метод розширення серії Power
Коли z-перетворення визначається як степеневий ряд у вигляді
\[H(s)=\sum_{t=-\infty}^{\infty} h(t) s^{-t} \nonumber \]
то кожен член послідовності\(h(t)\) можна визначити, дивлячись на коефіцієнти відповідної потужності\(s^{−t}\).
Приклад\(\PageIndex{3}\)
Тепер подивіться на Laplace-перетворення послідовності скінченної довжини.
\ почати {вирівняні}
H (s) &=s^ {2}\ ліворуч (1+2 s^ {-1}\ праворуч)\ ліворуч (1-\ розриву {1} {2} s^ {-1}\ праворуч)\ ліворуч (1+s^ {-1}\ праворуч)\\
&=s^ {2} +\ frac {5} {2} {2} {2} {2} +-s^ {-1}
\ кінець {вирівняний}
В даному випадку, так як полюсів не було, ми множимо на коефіцієнти\(H(s)\). Тепер, за допомогою інспекції, зрозуміло, що
\[h(t)=\delta(t+2)+\frac{5}{2} \delta(t+1)+\frac{1}{2} \delta(t)+-\delta[t-1] .\nonumber \]
Однією з переваг методу розширення силових рядів є те, що багато функцій, що виникають у інженерних задачах, мають таблицю своїх силових рядів. Таким чином, такі функції, як журнал, гріх, експонента, sinh тощо, можуть бути легко інвертовані.
Приклад\(\PageIndex{4}\)
Припустимо
\[H(s)=\log _{t}\left(1+\alpha s^{-1}\right) \nonumber \]
Відзначивши, що
\[\log _{t}(1+x)=\sum_{t=1}^{\infty} \frac{-1^{t+1} x^{t}}{t} \nonumber \]
Тоді
\[H(s)=\sum_{t=1}^{\infty} \frac{-1^{t+1} \alpha^{t} s^{-t}}{t} \nonumber \]
Тому
\ [H (s) =\ лівий\ {\ begin {масив} {l}
\ frac {-1^ {t+1}\ альфа^ {t}} {t}\ текст {якщо} t\ geq 1\
0\ текст {якщо} t\ leq 0
\ end {масив}\ право. \ номер\]
Метод інтеграції контуру
Не вдаючись до деталей
\[h(t)=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{r} H(s) s^{t-1} \mathrm{d} s \nonumber \]
де\(r\) - контур проти годинникової стрілки в РПЦ\(H(s)\) оточення початку s-площини. Для подальшого розширення цього методу знаходження зворотного потрібно знання теорії комплексних змінних і, таким чином, не буде розглядатися в цьому модулі.
Демонстрація інтеграції контуру
Висновок
Зворотне перетворення Laplace-дуже корисно знати для цілей проектування фільтра, і існує багато способів, за допомогою яких можна його обчислити, спираючись на багатьох розрізнених областях математики. Все, тим не менш, допомагає користувачеві досягти бажаного сигналу часової області, який потім може бути синтезований в апаратному (або програмному забезпеченні) для реалізації в реальному фільтрі.