11.3: Властивості перетворення Лапласа
- Page ID
- 34021
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
| Нерухомість | Сигнал | Трансформація Лапласа | Регіон конвергенції |
|---|---|---|---|
| Лінійність | \(\alpha x_{1}(t)+\beta x_{2}(t)\) | \(\alpha X_{1}(s)+\beta X_{2}(s)\) | Принаймні\(\mathrm{ROC}_{1} \cap \mathrm{ROC}_{2}\) |
| Зсув часу | \(x(t−\tau)\) | \(e^{-(s \tau)} X(s)\) | \(\mathrm{ROC}\) |
| Зсув частоти (модуляція) | \(e^{\eta t} x(t)\) | \(X(s-\eta)\) | Зсув\(\mathrm{ROC}\) (\(s-\eta\)повинен знаходитися в області конвергенції) |
| Масштабування часу | \(x(\alpha t)\) | \((1-|\alpha|) X(s-\alpha)\) | Масштабований\(\mathrm{ROC}\) (\(s-\alpha\)повинен знаходитися в області конвергенції) |
| відмінювання | \(x^*(t)\) | \(X^*(s^*)\) | \(\mathrm{ROC}\) |
| згортка | \(x_{1}(t) * x_{2}(t)\) | \(X_{1}(t) X_{2}(t)\) | Принаймні\(\mathrm{ROC}_{1} \cap \mathrm{ROC}_{2}\) |
| Диференціація часу | \(\frac{d}{d t} x(t)\) | \(sX(s)\) | Принаймні\(\mathrm{ROC}\) |
| Частотна диференціація | \((-t)x(t)\) | \(\frac{d}{d s} X(s)\) | \(\mathrm{ROC}\) |
| Інтеграція в часі | \(\int_{-\infty}^{t} x(\tau) d \tau\) | \((1-s) X(s)\) | Принаймні\(\operatorname{ROC} \cap(\operatorname{Re}(s)>0)\) |