11.1: Перетворення Лапласа
- Page ID
- 34016
Вступ
Перетворення Лапласа є узагальненням безперервного часу перетворення Фур'є (розділ 8.2). Він використовується, оскільки CTFT не сходиться/існує для багатьох важливих сигналів, і все ж це робить для перетворення LaPlace (наприклад, сигналів з нескінченною\(l_2\) нормою). Він також використовується, оскільки він нотаційно чистіший, ніж CTFT. Однак замість використання складних експоненціальних (Розділ 7.2) форми\(e^{j \omega t}\), з чисто уявними параметрами, перетворення Лапласа використовує більш загальне, де\(s=\sigma+j \omega\) складне\(e^{st}\), для аналізу сигналів в терміні експоненціально зважених синусоїдів.
Трансформація Лапласа
Двостороння пара перетворення Лапласа
Хоча перетворення Лапласа рідко вирішуються на практиці за допомогою інтеграції (таблиці (розділ 11.2) та комп'ютери (наприклад, Matlab) набагато частіше), ми надамо двосторонню пару перетворення Лапласа тут для цілей обговорення та виведення. Вони визначають пряме та обернене перетворення Лапласа. Зверніть увагу на подібність між прямим і зворотним перетвореннями. Це призведе до багатьох однакових симетрій, знайдених при аналізі Фур'є (розділ 5.1).
Трансформація Лапласа
\[F(s)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-(s t)} d t \nonumber \]
Обернене перетворення Лапласа
\[f(t)=\frac{1}{2 \pi j} \int_{c-j \infty}^{c+j \infty} F(s) e^{s t} d s \nonumber \]
Примітка
Ми визначили двостороннє перетворення Лапласа. Існує також одностороннє перетворення Лапласа,
\[F(s)=\int_{0}^{\infty} f(t) e^{-(s t)} \mathrm{d} t \nonumber \]
що корисно для розв'язання різницевих рівнянь з ненульовими початковими умовами. Це схоже на одностороннє Z-перетворення в дискретний час.
Відносини між Лапласом і CTFT
Поглянувши на рівняння, що описують Z-перетворення та перетворення Фур'є з дискретним часом:
Безперервне перетворення Фур'є
\[\mathcal{F}(\Omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-(j \Omega t)} d t \nonumber \]
Трансформація Лапласа
\[F(s)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-(s t)} d t \nonumber \]
Ми можемо побачити багато подібностей; по-перше, що:
\[\mathcal{F}(\Omega)=F(s) \nonumber \]
для всіх\(\Omega = s\).
Примітка
CTFT - це складнозначна функція дійсної змінної\(\omega\) (і\(2\pi\) періодичної). Z-перетворення є комплекснозначною функцією складнозначної змінної z.
Сюжети
Малюнок\(\PageIndex{1}\)
Візуалізація перетворення Лапласа
При перетворенні Фур'є ми мали складнозначну функцію чисто уявної змінної,\(F(j \omega)\). Це було те, що ми могли собі уявити за допомогою двох двовимірних графіків (реальної та уявної частин або величини та фази). Однак у Лапласа ми маємо комплексно-значну функцію комплексної змінної. Для того, щоб вивчити величину і фазу або реальну і уявну частини цієї функції, ми повинні вивчити 3-вимірні ділянки поверхні кожного компонента.
Реальні та уявні зразки сюжетів
Графіки зразків величини та фази
Хоча це законні способи перегляду сигналу в домені Лапласа, його досить важко намалювати та/або проаналізувати. З цієї причини був розроблений більш простий метод. Хоча це не буде детально обговорюватися тут, метод поляків і нулів набагато легше зрозуміти і є способом перетворення Лапласа і його дискретного часу Z-перетворення представлені графічно.
Використання комп'ютера для пошуку перетворення Лапласа
Використання комп'ютера для пошуку трансформацій Лапласа є відносно безболісним. Matlab має дві функції, laplace та ilaplace, які є частиною символічного набору інструментів, і знайде відповідно перетворення Лапласа та оберненого Лапласа. Цей метод, як правило, кращий для більш складних функцій. Простіші та більш надумані функції зазвичай досить легко знайти за допомогою таблиць.
Демонстрація визначення перетворення Лапласа
Інтерактивні демонстрації
Висновок
Перетворення Лапласа доводить корисну, більш загальну форму безперервного перетворення Фур'є за часом. Він однаково добре застосовується до опису систем, а також сигналів за допомогою методу власної функції, а також до опису більшого класу сигналів, краще описаних методом полюс-нуль.