10.7: Дискретна обробка тимчасових сигналів безперервного часу

Вступ

Цифрові комп'ютери можуть обробляти дискретні сигнали часу, використовуючи надзвичайно гнучкі та потужні алгоритми. Однак більшість сигналів, що цікавлять, є сигналами безперервного часу, саме так дані майже завжди з'являються в природі. Тепер, коли обговорювалася теорія, що підтримує методи генерації дискретного тимчасового сигналу з сигналу безперервного часу за допомогою вибірки, а потім досконалої реконструкції вихідного сигналу з його зразків без помилок, буде показано, як це можна застосувати для реалізації безперервного часу, лінійного часу інваріантні системи з використанням дискретних часових, лінійних інваріантних систем часу. Це має ключове значення для багатьох сучасних технологій, оскільки дозволяє використовувати потужність цифрових обчислень для обробки аналогових сигналів.

Дискретна тимчасова обробка сигналів безперервного часу

Структура процесу

З метою обробки сигналів безперервного часу за допомогою дискретної системи часу ми зараз розглянемо одну з найпоширеніших структур цифрових технологій обробки сигналів. Як огляд прийнятого підходу, вихідний сигнал безперервного часу\(x\) відбирається до дискретного сигналу часу таким\(x_s\) чином, що періоди\(X_s\) спектру зразків максимально наближені за формою до спектру\(X\). Потім застосовується дискретний час, лінійний\(H_2\) інваріантний фільтр часу, який змінює форму спектру зразків,\(X_s\) але не може збільшити межу смуги\(X_s\), щоб отримати інший сигнал\(y_s\). Це реконструюється з відповідним фільтром реконструкції для отримання безперервного вихідного сигналу часу\(y\), таким чином ефективно реалізуючи деяку систему безперервного часу\(H_1\). Цей процес проілюстрований на малюнку\(\PageIndex{1}\), а спектри показані для конкретного випадку на малюнку\(\PageIndex{2}\).

Рисунок\(\PageIndex{1}\): Наведено структурну схему обробки сигналів безперервного часу за допомогою дискретних часових систем.

Подальше обговорення кожного з цих кроків необхідно, і ми почнемо з обговорення аналого-цифрового перетворювача, часто позначається АЦП або A/D. зрозуміло, що для того, щоб обробити безперервний сигнал часу, використовуючи методи дискретного часу, ми повинні вибірку сигналу в якості початкового кроку. Це, по суті, мета АЦП, хоча є практичні питання, про які піде мова далі. АЦП приймає безперервний аналоговий сигнал часу як вхід і виробляє дискретний цифровий сигнал часу як вихід, з ідеальним нескінченною точністю випадку, що відповідає вибірці. Як зазначено в теоремі вибірки Найквіста-Шеннона, для того, щоб зберегти всю інформацію про оригінальний сигнал, ми зазвичай бажаємо вибірки вище частоти Найквіста,\(\omega_s≥2B\) де вихідний сигнал обмежений діапазоном\((−B,B)\). Коли гарантувати цю умову неможливо, слід використовувати фільтр згладжування.

Дискретний фільтр часу - це місце, де відбуваються навмисні зміни інформації про сигнал. Це зазвичай робиться в цифровому комп'ютерному програмному забезпеченні після того, як сигнал був відібраний апаратним АЦП і перед тим, як він використовується апаратним ЦАП для побудови виходу. Це дозволяє вищевказаному налаштуванню бути досить гнучким у фільтрі, який він реалізує. Якщо вибірка вище частоти Nyquist. Будь-які зміни, які дискретний фільтр вносить до цієї форми, можуть бути передані безперервному сигналу часу, припускаючи ідеальну реконструкцію. Отже, описаний процес буде реалізовувати безперервний час, лінійний інваріантний фільтр часу. Це буде пояснено більш математично в наступному розділі. Як завжди, є, звичайно, практичні обмеження, про які піде мова далі.

Нарешті, ми обговоримо цифровий аналоговий перетворювач, часто позначається ЦАП або D/A Оскільки безперервні фільтри часу мають безперервні входи часу та безперервні виходи часу, ми повинні побудувати безперервний сигнал часу з нашого відфільтрованого дискретного сигналу часу. Припускаючи, що ми вибрали смугу, обмежену з досить високою швидкістю, в ідеальному випадку це було б зроблено за допомогою ідеальної реконструкції за допомогою формули інтерполяції Віттакера-Шеннона. Однак є, знову ж таки, практичні питання, які заважають цьому статися, про які піде мова далі.

Рисунок\(\PageIndex{2}\): Спектри показані чорним кольором для кожного кроку реалізації безперервного фільтра часу за допомогою дискретного фільтра часу для певного сигналу. Частотні характеристики фільтра показані синім кольором, і обидва мають максимальне значення 1, незважаючи на вертикальну шкалу, яка призначена лише для спектрів сигналу. Передбачаються ідеальні АЦП і ЦАП.

Дискретний фільтр часу

З деяким початковим обговоренням процесу, проілюстрованого на малюнку\(\PageIndex{1}\) завершено,\(H_2\) можна дослідити зв'язок між безперервним часом, лінійним інваріантним фільтром часу\(H_1\) та дискретним часом, лінійним інваріантним фільтром часу. Ми будемо вважати використання ідеальних, нескінченної точності АЦП і ЦАП, які виконують вибірку і досконалу реконструкцію, відповідно, використовуючи частоту дискретизації,\(\omega_s=2 \pi /T_s≥2B\) де вхідний сигнал\(x\) обмежений діапазоном\((−B,B)\). Зверніть увагу, що ці аргументи зазнають невдачі, якщо ця умова не виконується і відбувається згладжування. У такому випадку для утримання цих аргументів необхідно попереднє застосування фільтра згладжування.

Нагадаємо, що ми вже розрахували спектр\(X_s\) зразків,\(x_s\) наданих на вхід\(x\) зі спектром\(X\) як

\[X_{s}(\omega)=\frac{1}{T_{s}} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X\left(\frac{\omega-2 \pi k}{T_{s}}\right) . \nonumber \]

Аналогічним чином, спектр\(Y_s\) зразків,\(y_s\) наданих на виході\(y\) зі спектром\(Y\), є

\[Y_{s}(\omega)=\frac{1}{T_{s}} \sum_{k=-\infty}^{\infty} Y\left(\frac{\omega-2 \pi k}{T_{s}}\right) . \nonumber \]

З того знання\(y_s=(H_1x)_s=H_2(x_s)\), що, випливає, що

\[\sum_{k=-\infty}^{\infty} H_{1}\left(\frac{\omega-2 \pi k}{T_{s}}\right) X\left(\frac{\omega-2 \pi k}{T_{s}}\right)=H_{2}(\omega) \sum_{k=-\infty}^{\infty} X\left(\frac{\omega-2 \pi k}{T_{s}}\right). \nonumber \]

Оскільки\(X\) смуга обмежена\((−\pi /T_s, \pi /T_s)\), ми можемо зробити висновок, що

\[H_{2}(\omega)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} H_{1}\left(\frac{\omega-2 \pi k}{T_{s}}\right)(u(\omega-(2 k-1) \pi)-u(\omega-(2 k+1) \pi)). \nonumber \]

Простіше кажучи,\(H_2\) є\(2 \pi\) періодичним і\(H_2(\omega)=H_1( \omega /T_s)\) для\(\omega \in[-\pi, \pi)\).

Враховуючи певний безперервний час, лінійний інваріантний фільтр часу\(H_1\), вищевказане рівняння вирішує задачу проектування системи за умови, що ми знаємо, як реалізувати\(H_2\). Фільтр\(H_2\) повинен бути обраний таким чином, щоб він мав частотну характеристику, де кожен період має ту ж форму, що і\(H_1\) частотна характеристика увімкнення\(\left(-\pi / T_{s}, \pi / T_{s}\right)\). Це проілюстровано на частотних характеристиках, показаних на малюнку\(\PageIndex{2}\).

Ми також можемо розглянути проблему системного аналізу, в якій задано певний дискретний час, лінійний\(H_2\) інваріантний фільтр часу, і ми хочемо описати фільтр\(H_1\). Таких фільтрів багато, але ми можемо описати їх частотні характеристики\(\left(-\pi / T_{s}, \pi / T_{s}\right)\) за допомогою наведеного вище рівняння. Виділення одного періоду\(H_2(\omega)\) дає висновок, що\(H_{1}(\omega)=H_{2}\left(\omega T_{s}\right)\) для\(\omega \in\left(-\pi / T_{s}, \pi / T_{s}\right)\). Оскільки\(x\) передбачалося, що смуга обмежена\(\left(-\pi / T_{s}, \pi / T_{s}\right)\), значення частотної характеристики в іншому місці не має значення.

Практичні міркування

Як уже згадувалося раніше, існує кілька практичних міркувань, які необхідно враховувати на кожному етапі процесу, показаного на малюнку\(\PageIndex{1}\). Деякі з них будуть коротко розглянуті тут, і більш повна модель того, як дискретна обробка часу безперервних сигналів часу з'являється на рис\(\PageIndex{3}\).

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Більш повна модель того, як дискретна тимчасова обробка сигналів безперервного часу реалізується на практиці. Зверніть увагу на додавання згладжування та анти-візуалізаційних фільтрів для сприяння обмеженості вхідної та вихідної смуги. Показано, що АЦП виконує вибірку з квантуванням. Цифровий фільтр додатково вказується як причинно-наслідковий. Показано, що ЦАП виконує недосконалу реконструкцію, нульовий порядок утримання в цьому випадку.

Фільтр згладжування

Насправді ми, як правило, не можемо гарантувати, що вхідний сигнал матиме певний ліміт смуги, і досить високі частоти дискретизації не обов'язково можуть бути отримані. Оскільки вкрай важливо, щоб компоненти вищої частоти не могли маскуватися під компоненти нижчої частоти за допомогою згладжування, перед подачею сигналу в АЦП\(\omega_s/2\) повинні бути використані фільтри згладжування з частотою зрізання менше або рівною. Блок-схема на малюнку\(\PageIndex{3}\) відображає це доповнення.

Як описано в попередньому розділі, ідеальний фільтр низьких частот, що видаляє всю енергію на частотах вище,\(\omega_s/2\) був би оптимальним. Звичайно, це не досяжно, тому\(\omega_s/2\) повинні бути прийняті наближення ідеального фільтра низьких частот з низьким коефіцієнтом посилення вище. Це означає, що деяке згладжування неминуче, але воно може бути зведено до переважно незначного рівня.

Квантування сигналу

У нашому попередньому обговоренні дискретної обробки тимчасових сигналів безперервного часу ми припустили ідеальний випадок, коли АЦП виконує вибірку точно. Однак, хоча АЦП перетворює сигнал безперервного часу в дискретний сигнал часу, він також повинен перетворювати аналогові значення в цифрові значення для використання в цифровому логічному пристрої, явище називається квантуванням. Підсистема АЦП блок-схеми на малюнку\(\PageIndex{3}\) відображає це доповнення.

Дані, отримані АЦП, повинні зберігатися в скінченно багатьох бітах всередині цифрового логічного пристрою. Таким чином, існує лише скінченно багато значень, які може приймати цифровий зразок, зокрема,\(2N\) де\(N\) кількість бітів, тоді як існує незліченна кількість значень, які може приймати аналоговий зразок. Отже, щось має бути втрачено в процесі квантування. Результатом є те, що квантування обмежує як діапазон, так і точність виходу АЦП. Обидва є кінцевими, і поліпшення одного при постійній кількості бітів вимагає жертви якості в іншому.

Реалізація фільтра

У реальних умовах, якщо вхідний сигнал є функцією часу, майбутні значення сигналу не можуть бути використані для обчислення вихідного сигналу. Таким чином, цифровий фільтр\(H_2\) і загальна система\(H_1\) повинні бути причинними. Анотація фільтра на малюнку\(\PageIndex{3}\) відображає це доповнення. Якщо бажана система не є причинною, але має імпульсну характеристику, рівну нулю до\(t_0\) деякого часу, можна ввести затримку, щоб зробити її причинною. Однак якщо ця затримка надмірна або імпульсна характеристика має нескінченну довжину, то віконна схема стає необхідною для того, щоб практично вирішити проблему. Множення на вікно для зменшення довжини імпульсної характеристики може зменшити необхідну затримку і зменшити обчислювальні вимоги.

Візьмемо, наприклад, випадок ідеального фільтра низьких частот. Він є випадковим і нескінченним по довжині в обох напрямках. Таким чином, ми повинні задовольнити себе наближенням. Можна припустити, що ці наближення можуть бути досягнуті шляхом усічення sinc імпульсної характеристики фільтра низьких частот на одному з його нулів, ефективно віконяючи його прямокутним імпульсом. Однак це призведе до поганих результатів у частотній області, оскільки результуюча згортка значно поширила б енергію сигналу. Інші віконні функції, яких багато, поширюють сигнал менше в частотній області і, таким чином, набагато корисніші для створення цих наближень.

Анти-візуалізація фільтр

У нашому попередньому обговоренні дискретної обробки тимчасових сигналів безперервного часу ми припустили ідеальний випадок, коли ЦАП виконує ідеальну реконструкцію. Однак при розгляді практичних питань важливо пам'ятати, що функція sinc, яка використовується для інтерполяції Уіттакера-Шеннона, нескінченна по довжині і причинності. Отже, було б неможливо для ЦАП здійснити ідеальну реконструкцію.

Замість цього ЦАП реалізує причинно-наслідковий нульовий порядок утримання або іншу просту схему реконструкції щодо частоти дискретизації, що\(\omega_s\) використовується АЦП. Однак це призведе до функції, яка не обмежується діапазоном\((−\omega_s/2,\omega_s/2)\). Тому на виході повинен бути застосований додатковий фільтр низьких частот, званий фільтром проти зображень. Процес, проілюстрований на малюнку,\(\PageIndex{3}\) відображає ці доповнення. Фільтр проти зображень намагається обмежити сигнал\((−\omega_s/2,\omega_s/2)\), тому ідеальний фільтр низьких частот був би оптимальним. Однак, як вже було заявлено, зробити це неможливо. Тому\(\omega_s/2\) повинні бути прийняті наближення ідеального фільтра низьких частот з низьким коефіцієнтом посилення вище. Фільтр проти зображень, як правило, має ті ж характеристики, що і фільтр згладжування.

Дискретна тимчасова обробка сигналів безперервного часу

Як було показано, вибірка та реконструкція може бути використана для реалізації систем безперервного часу з використанням дискретних систем часу, що є дуже потужним завдяки універсальності, гнучкості та швидкості роботи цифрових комп'ютерів. Однак існує велика кількість практичних міркувань, які необхідно враховувати при спробі досягти цього, включаючи шум квантування та згладжування в аналого-цифровому перетворювачі, реалізованість фільтра в дискретному фільтрі часу, а також вікно реконструкції та пов'язані проблеми в цифро-аналоговий перетворювач. Багато сучасних технологій вирішують ці питання і використовують цей процес.