10.6: Фільтри згладжування

Last updated
Save as PDF

Page ID: 34171

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вступ

Показано, що\((−B,B)\) обмежений смугою сигнал може бути ідеально реконструйований зі своїх зразків зі швидкістю\(\omega_s=2 \pi /T_s≥B\). Однак не завжди практично можливо виробляти досить високі частоти дискретизації або забезпечити, щоб вхід був обмежений в реальних ситуаціях. Згладжування, яке проявляється як різниця у формі між періодами спектра сигналу зразків та вихідним спектром, відбуватиметься без будь-яких подальших заходів щодо виправлення цього. Таким чином, часто виникає необхідність відфільтрувати енергію сигналу на\(\omega_s/2\) частотах вище, щоб уникнути згубних наслідків згладжування. Це роль фільтра згладжування, фільтра низьких частот, застосованого перед вибіркою, щоб гарантувати, що сигнал\((−\omega_s/2, \omega_s/2)\) обмежений смугою або принаймні майже так.

Фільтри згладжування

Згладжування може виникати, коли сигнал з енергією на інших частотах, які\((−B,B)\) вибірковуються зі швидкістю\(\omega_s<2B\). Таким чином, при вибірці нижче частоти Nyquist бажано видалити якомога більше енергії сигналу поза діапазоном частот, зберігаючи при цьому\((−B,B)\) якомога більше енергії сигналу в діапазоні\((−B,B)\) частот. Це говорить про те, що ідеальний фільтр низьких частот з частотою зрізання\(\omega_s/2\) буде оптимальним фільтром згладжування для застосування перед вибіркою. Хоча це правда, ідеальний фільтр низьких частот може бути наближений лише в реальних ситуаціях.

Для того, щоб продемонструвати важливість фільтрів згладжування, розглянемо розрахунок енергії похибки між вихідним сигналом та його реконструкцією Уіттакера-Шеннона з його зразків, взятих із застосуванням фільтра згладжування та без нього. \(x\)Дозволяти бути вихідним сигналом і\(y=Gx\) бути антипсевдонімом відфільтрований сигнал, де\(G\) ідеальний фільтр низьких частот з частотою зрізу\(\omega_s/2\). Легко показати, що реконструйований спектр за допомогою фільтра згладжування не задається

\ [\ widetilde {X} (\ омега) =\ лівий\ {\ почати {масив} {cl}
T_ {s} X_ {s}\ лівий (T_ {s}\ омега\ праворуч) & |\ омега|<\ омега_ {s}/2\
0 &\ текст {інакше}
\ кінець {масив} =\ лівий\ {\ почати {масив} {cc}
\ сума _ {k=-\ infty} ^ {\ infty} X\ ліворуч (\ омега-k\ омега_ {s}\ праворуч) & | \ омега|<\ омега_ {s}/2\\
0 &\ text {інакше}
\ end {масив}\ право. \ праворуч. \ номер\]

Таким чином, спектр похибок реконструкції для цього випадку є

\ [(X-\ widetilde {X}) (\ омега) =\ ліворуч\ {\ почати {масив} {cc}
-\ sum_ {k=1} ^ {\ infty}\ лівий (X\ лівий (\ омега+k\ омега_ {s}\ праворуч) +X\ лівий (\ омега-k\ омега_ {s}\ праворуч)\\\ омега_ |<\ омега_ {s}/2\\
X (\ омега) &\ текст {інакше}
\ end {масив}\ право.. \ номер\]

Аналогічно, реконструйований спектр за допомогою ідеального фільтра згладжування нижніх частот задається

\ [\ widetilde {Y} (\ омега) = Y (\ омега) =\ лівий\ {\ begin {масив} {cc}
X (\ омега) & |\ омега_ {s}/2\\
0 &\\ текст {інакше}
\ кінець {масив}\ право.. \ номер\]

Таким чином, спектр похибок реконструкції для цього випадку є

\ [(X-\ widetilde {Y}) (\ омега) =\ left\ {\ begin {масив} {cc}
0 & |\ омега_ {s}/2\\
X (\ омега) &\ текст {інакше}
\ кінець {масив}\ праворуч. \ номер\]

Звідси, за теоремою Парсеваля, випливає, що\(\|x-\tilde{y}\| \leq\|x-\tilde{x}\|\). Також зверніть увагу,\(\widetilde{Y}\) що спектр ідентичний спектру вихідного сигналу\(X\) на частотах\(\omega \in\left(-\omega_{s} / 2, \omega_{s} / 2\right)\). Це графічно показано на малюнку\(\PageIndex{1}\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): На малюнку вище показано використання фільтра згладжування для поліпшення процесу вибірки та реконструкції при використанні частоти дискретизації нижче частоти Найквіста. Зверніть увагу, що при використанні ідеального фільтра згладжування низьких частот реконструйований спектр сигналу має ту ж форму, що і вихідний спектр сигналу для всіх частот нижче половини частоти дискретизації. Це призводить до меншої енергії похибки при використанні фільтра згладжування, що можна побачити, порівнюючи показані спектри помилок.

Зведення фільтрів згладжування

Як видно, фільтри згладжування гарантують, що сигнал\((−\omega_s/2,\omega_s/2)\) обмежений смугою, або, принаймні, майже так. Оптимальним фільтром згладжування був би ідеальним фільтром низьких частот з частотою зрізу на\(\omega_s/2\), який забезпечить рівність вихідного спектру сигналу та реконструйованого спектру сигналу на інтервалі\((−\omega_s/2,\omega_s/2)\). Однак ідеальний фільтр низьких частот неможливо реалізувати на практиці, і натомість повинні бути прийняті наближення. Фільтри згладжування є важливою складовою систем, що реалізують дискретну часову обробку сигналів безперервного часу, як буде показано в наступному модулі.