10.5: Явища згладжування

Last updated
Save as PDF

Page ID: 34163

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вступ

Завдяки обговоренню теореми вибірки Найквіста-Шеннона та формули реконструкції Віттакера-Шеннона вже було показано, що\((−B,B)\) безперервний сигнал часу може бути реконструйований з його зразків зі швидкістю за\(\omega_s=2 \pi /T_s\) допомогою фільтра інтерполяції sinc if\(\omega_s>2B\). Тепер цей модуль буде досліджувати проблемне явище, яке називається псевдонімом, яке може виникнути, якщо ця достатня умова для досконалої реконструкції не дотримується. Коли відбувається згладжування, спектр зразків має іншу форму, ніж вихідний спектр сигналу, тому зразки не можуть бути використані для реконструкції вихідного сигналу за допомогою інтерполяції Уіттакера-Шеннона.

Згладжування

Згладжування відбувається тоді, коли кожен період спектру зразків не має такої ж форми, як спектр вихідного сигналу. З огляду на неперервні сигнали часу\(x\) з безперервним тимчасовим перетворенням Фур'є\(X\), нагадаємо, що\(X_s\) спектр вибіркового сигналу\(x_s\) з періодом дискретизації\(T_s\) задається

\[X_{s}(\omega)=\frac{1}{T_{s}} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X\left(\frac{\omega-2 \pi k}{T_{s}}\right). \nonumber \]

Як вже було сказано кілька разів, якщо смугаобмежена тим\((−\pi/T_s,\pi/T_s)\),\(x\) що кожен період\(X_s\) має ту ж форму, що і\(X\). Однак якщо\(x\) смуга не обмежується\(\left(-\pi / T_{s}, \pi / T_{s}\right)\), то\(X\left(\frac{\omega-2 \pi k}{T_{s}}\right)\) можуть перекриватися і підсумовуватися разом. Це проілюстровано на\(\PageIndex{1}\) малюнку, на якому вибірка вище частоти Nyquist виробляє спектр зразків тієї ж форми, що і вихідний сигнал, але вибірка нижче частоти Nyquist виробляє спектр зразків з дуже різною формою. Інтерполяція Уіттакера-Шеннона кожної з цих послідовностей дає різні результати. Низькі частоти, на які не впливає перекриття, однакові, але є вміст шуму у вищих частотах, викликаних згладжуванням. Більш висока частота енергії маскується під низький вміст енергії, вкрай небажаний ефект.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Показаний спектр сигналів, обмежених смугою, а також спектри його зразків зі швидкістю вище і нижче частоти Найквіста. Як показано, псевдонім не відбувається вище частоти Найквіста, а період спектра зразків, зосереджених навколо походження, має ту ж форму, що і спектр вихідного сигналу, масштабованого по частоті. Нижче частоти Найквіста може відбуватися згладжування і змушує спектр приймати інший, ніж вихідний спектр.

На відміну від вибірки вище частоти Nyquist, дискретизація нижче частоти Nyquist не дає ін'єкційної (один до одного) функції від\((−B,B)\) смугових сигналів безперервного часу до дискретних сигналів часу. Будь-який сигнал\(x\) зі спектром\(X\), який перекривається і підсумовується до\(X_s\) зразків\(x_s\). Повинно бути інтуїтивно зрозуміло, що існує дуже багато сигналів,\((−B,B)\) обмежених смугою, які вибірки до даного дискретного сигналу часу нижче частоти Найквіста, як показано на малюнку\(\PageIndex{2}\). Побудувати незліченно нескінченні сім'ї таких сигналів досить легко.

Згладжування отримує його ім'я від того факту, що кілька, насправді нескінченно багато,\((−B,B)\) смугових сигналів вибірки до тієї ж дискретної послідовності, якщо\(\omega_s<2B\). Таким чином, інформація про вихідний сигнал втрачається в цьому незворотному процесі, і ці різні сигнали фактично припускають одну і ту ж ідентичність, «псевдонім». Отже, за цих умов формула інтерполяції Віттакера-Шеннона не дасть ідеальної реконструкції вихідного сигналу, але замість цього дасть унікальний сигнал,\((−\omega_s/2,\omega_s/2)\) обмежений смугою, який вибірки дискретної послідовності.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Спектр дискретного тимчасового сигналу\(x_s\), взятого з малюнка\(\PageIndex{1}\), показаний разом зі спектрами трьох\((−B,B)\) сигналів, які вибірки до нього зі швидкістю\(\omega_s<2B\). Тільки з вибіркового сигналу неможливо сказати, який, якщо такий був, з них був вибірковий зі швидкістю\(\omega_s\) виробництва\(x_s\). Насправді існує нескінченно багато сигналів,\((−B,B)\) обмежених діапазоном, які вибірки з\(x_s\) частотою дискретизації нижче частоти Найквіста.

Демонстрація згладжування

Демо вибірки — Малюнок\(\PageIndex{3}\): Взаємодійте (у режимі онлайн) з Mathematica CDF, що демонструє вибірку та згладжування синусоїди. Щоб завантажити, клацніть правою кнопкою миші та збережіть ціль як .cdf.

Підсумок згладжування

Псевдонім, по суті, версія обробки сигналів крадіжки особистих даних, відбувається, коли кожен період спектру зразків не має такої ж форми, як спектр вихідного сигналу. Як було показано, може бути нескінченно багато сигналів,\((−B,B)\) обмежених смугою, які вибірки до даного дискретного сигналу\(x_s\) часу зі швидкістю\(\omega_s=2 \pi /T_s<2B\) нижче частоти Найквіста. Однак існує унікальний сигнал,\((−B,B)\) обмежений смугою, який вибірки\(x_s\), який задається інтерполяцією Уіттакера-Шеннона\(x_s\), зі швидкістю,\(\omega_s≥2B\) оскільки псевдонім не відбувається вище частоти Найквіста. На жаль, досить високі частоти дискретизації не завжди можуть бути отримані. Згладжування шкідливо для багатьох програм обробки сигналів, тому для обробки сигналів безперервного часу за допомогою дискретних інструментів часу часто необхідно знайти способи уникнути цього, крім збільшення частоти дискретизації. Таким чином, фільтри згладжування, мають практичне значення.