10.4: Ідеальна реконструкція

Вступ

Якщо певні додаткові припущення щодо вихідного сигналу та частоти дискретизації тримаються, то вихідний сигнал можна відновити саме з його зразків, використовуючи особливо важливий тип фільтра. Більш конкретно, буде показано, що якщо сигнал з обмеженим діапазоном відбирається зі швидкістю, що перевищує удвічі більше межі смуги, формула реконструкції Віттакера-Шеннона ідеально реконструює вихідний сигнал. Ця формула використовує ідеальний фільтр низьких частот, який пов'язаний з функцією sinc. Це надзвичайно корисно, оскільки вибіркові версії сигналів безперервного часу можуть бути відфільтровані за допомогою дискретної обробки тимчасових сигналів, часто в комп'ютері. Потім результати можуть бути реконструйовані для отримання такого ж безперервного виходу часу, як і деяка бажана система безперервного часу.

Ідеальна реконструкція

Для того щоб зрозуміти умови досконалої реконструкції та фільтра, який він використовує, розглянемо наступне. Для початку буде обговорено достатню умову, при якій можлива ідеальна реконструкція. Згодом фільтр і процес, який використовується для ідеальної реконструкції, будуть деталізовані.

Нагадаємо, що вибірковий варіант\(x_s\) безперервного сигналу часу\(x\) з періодом дискретизації\(T_s\) має спектр, заданий

\[X_{s}(\omega)=\frac{1}{T_{s}} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X\left(\frac{\omega-2 \pi k}{T_{s}}\right). \nonumber \]

Як і раніше, зверніть увагу,\(x\) що якщо bandlimited to\((−\pi /T_s, \pi /T_s)\),\(X\) тобто тільки ненульовий на\((−\pi /T_s, \pi /T_s)\), то кожен період\(X_s\) має ту ж форму, що і\(X\). Таким чином, ми можемо ідентифікувати вихідний\(X\) спектр за спектром зразків\(X_s\) і, крім того, вихідний сигнал\(x\) з його зразків зі\(x_s\) швидкістю,\(T_s\) якщо\(x\) обмежений діапазоном\((−\pi /T_s, \pi /T_s)\).

Якщо сигнал\(x\) обмежений діапазоном\((−B,B)\), то він також bandlimited за\((−\pi /T_s, \pi /T_s)\) умови, що\(T_s< \pi /B\). Таким чином, якщо ми гарантуємо, що\(x\) вибірка\(x_s\) з досить високою кутовою частотою дискретизації\(\omega_s=2 \pi /T_s>2B\) і є спосіб ідентифікації унікального сигналу,\((−\pi /T_s, \pi /T_s)\) обмеженого смугою, що відповідає дискретному сигналу часу в період вибірки\(T_s\), то\(x_s\) може бути використаний для реконструкції \(\tilde{x}=x\)точно. Частота\(2B\) відома як кутова швидкість Nyquist. Тому умова, що частота\(\omega_s=2 \pi /T_s>2B\) дискретизації більша за швидкість Найквіста, є достатньою умовою для ідеальної реконструкції.

Правильний фільтр також повинен бути відомий для того, щоб виконати ідеальну реконструкцію. Ідеальний фільтр низьких частот визначається\(G(\omega)=T_s(u(\omega+\pi/T_s)−u(\omega−\pi/T_s))\), який показаний на малюнку\(\PageIndex{1}\), видаляє весь вміст сигналу не в діапазоні частот\((−\pi /T_s, \pi /T_s)\). Тому застосування цього фільтра до імпульсного ланцюга\(\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_{s}(n) \delta\left(t-n T_{s}\right)\) призводить до виходу смуги, обмеженої до\((−\pi /T_s, \pi /T_s)\).

Тепер нам потрібно лише підтвердити, що імпульсна характеристика\(g\) фільтра\(G\) задовольняє нашому достатньому умові бути фільтром реконструкції. Обернене перетворення\(G(\omega)\) Фур'є

\ [g (t) =\ ім'я оператора {sinc}\ ліворуч (t/T_ {s}\ праворуч) =\ ліворуч\ {\ begin {масив} {cc}
1 & t = 0
\\\ frac {\ sin\ ліворуч (\ pi t_ {s}\ правий)} {\ pi t_ {s}} & t\ neq 0
\ кінець {масив}\.,\ nonномер\]

який зображений на малюнку\(\PageIndex{6}\). Отже,

\ [g\ ліворуч (n T_ {s}\ право) =\ ім'я оператора {sinc} (n) =\ лівий\ {\ begin {масив} {cc}
1 & n = 0\\
\ frac {\ sin (\ pi n)} {\ pi n} & n\ neq 0
\ end {масив} =\ лівий\ {почати {масив} {ll}
1 & n=0\
0 & n\ neq 0
\ end {масив} =\ дельта (n)\ право. \ праворуч. \ номер\]

Тому ідеальний фільтр низьких частот\(G\) є дійсним фільтром реконструкції. Оскільки він є дійсним фільтром реконструкції і завжди виробляє вихід, обмежений діапазоном\((−\pi /T_s, \pi /T_s)\), цей фільтр завжди виробляє унікальний сигнал,\((−\pi /T_s, \pi /T_s)\) обмежений смугою, який відбирає задану дискретну часову послідовність в період вибірки,\(T_s\) коли вхідний\(\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_{s}(n) \delta\left(t-n T_{s}\right)\) імпульсний ланцюг.

Тому ми завжди можемо реконструювати будь-який\((−\pi /T_s, \pi /T_s)\) обмежений діапазон сигналу з його зразків у період вибірки\(T_s\) за формулою

\[x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_{s}(n) \operatorname{sinc}\left(t / T_{s}-n\right). \nonumber \]

Ця досконала формула реконструкції відома як формула інтерполяції Віттакера-Шеннона і іноді також називають кардинальним рядом. Насправді функція sinc є нескінченним порядком кардинального базису сплайн\(\eta_{\infty}\). Отже, множина\(\left\{\operatorname{sinc}\left(t / T_{s}-n\right) \: | \: n \in \mathbb{Z}\right\}\) формує основу векторного простору\((−\pi /T_s, \pi /T_s)\) смугообмежених сигналів, де сигнальні зразки забезпечують відповідні коефіцієнти. Це проста вправа, щоб показати, що ця основа є, по суті, ортогональною основою.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Наведені вище графіки показують ідеальний фільтр низьких частот та його зворотне перетворення Фур'є, функцію sinc.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Графіки показують приклад дискретного сигналу часу та його Віттакера-Шеннона з моменту реконструкції.

Ідеальний Реконструкція Резюме

Цей модуль показав, що сигнали безперервного часу, обмежені смугою, можуть бути реконструйовані саме з їх зразків за умови, що частота дискретизації перевищує частоту Nyquist, яка вдвічі перевищує межу смуги. Формула реконструкції Віттакера-Шеннона обчислює цю досконалу реконструкцію за допомогою ідеального фільтра низьких частот, при цьому отриманий сигнал є сумою зсунутих функцій sinc, які масштабуються за значеннями вибірки. Вибірка нижче швидкості Nyquist може призвести до згладжування, що робить вихідний сигнал невідновним, як описано в наступному модулі. Можливість ідеально реконструювати сигнали, обмежені смугою, має важливі практичні наслідки для обробки сигналів безперервного часу за допомогою інструментів дискретної обробки часових сигналів.