10.3: Реконструкція сигналу

Вступ

Процес вибірки виробляє дискретний сигнал часу з безперервного сигналу часу, вивчаючи значення безперервного сигналу часу в однаково віддалених точках часу. Реконструкція, також відома як інтерполяція, намагається виконати протилежний процес, який виробляє безперервний сигнал часу, що збігається з точками дискретного сигналу часу. Оскільки процес вибірки для загальних наборів сигналів не є оборотним, існують численні можливі реконструкції із заданого дискретного сигналу часу, кожна з яких буде вибірка до цього сигналу з відповідною частотою дискретизації. Цей модуль ознайомить з деякими з цих схем реконструкції.

Реконструкція

Процес реконструкції

Процес реконструкції, також широко відомий як інтерполяція, виробляє безперервний сигнал часу, який буде вибірка до заданого дискретного сигналу часу з певною частотою дискретизації. Реконструкція може бути математично зрозуміла, спочатку генеруючи безперервний імпульсний ланцюг часу

\[x_{i m p}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_{s}(n) \delta\left(t-n T_{s}\right) \nonumber \]

від вибіркового сигналу\(x_s\) з періодом вибірки,\(T_s\) а потім застосування фільтра низьких частот\(G\), який задовольняє певним умовам для отримання вихідного сигналу\(\tilde{x}\). Якщо\(G\) має імпульсну характеристику\(g\), то результат процесу реконструкції, проілюстрований на малюнку\(\PageIndex{1}\), дається наступним розрахунком, підсумкове рівняння якого використовується для виконання реконструкції на практиці.

\ [\ почати {вирівняти}
\ widetilde {x} (t) &=\ лівий (x_ {i m p} * г\ праворуч) (t)\ nonumber\\
&=\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} x_ {i m p} (\ tau) g (t-\ tau) d\ tau\ nonumber\\
&=\ int_ {\ infty} ^ {\ infty}\ sum_ {n=-\ infty} ^ {\ infty} x_ {s} (n)\ дельта\ лівий (\ тау-n T_ {s}\ праворуч) g (t-\ tau) d\ тау\ номер\\
&=\ сума_ {n=-\ infty} ^ {\ infty} x_ {s} (n)\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty}\ дельта\ ліворуч (\ тау-n T_ {s}\ праворуч) g (t-\ tau) d\ tau\ nonumber\\
=\ sum_ {n =\ inft} ^ {\ infty} x_ {s} (n) г\ ліворуч (t-n T_ {s}\ праворуч)
\ кінець {вирівняти}\ nonumber\]

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Блок-схема процесу реконструкції для заданого фільтра низьких частот\(G\).

Реконструкція фільтрів

Для того, щоб гарантувати, що реконструйовані\(\tilde{x}\) зразки сигналу до дискретного сигналу часу,\(x_s\) з якого він був реконструйований з використанням періоду вибірки\(T_s\), фільтр низьких частот\(G\) повинен задовольняти певним умовам. Вони можуть бути добре виражені у часовій області з точки зору умови на імпульсну характеристику\(g\) фільтра низьких частот\(G\). Достатня умова для реконструкції фільтрів, які нам знадобляться, полягає в тому, що, для всіх\(n \in \mathbb{Z}\),

\ [g\ ліворуч (n T_ {s}\ справа) =\ ліворуч\ {\ begin {масив} {ll}
1 &
n=0\ neq 0\ neq 0
\ end {масив} =\ дельта (n)\ справа. \ номер\]

Це означає, що gg вибірки зі швидкістю\(T_s\) виробляє дискретний імпульсний сигнал одиниці часу. Тому випливає, що відбір проб\(\tilde{x}\) з періодом вибірки\(T_s\) призводить до

\ [\ почати {вирівняти}
\ widetilde {x}\ ліворуч (n T_ {s}\ праворуч) &=\ sum_ {m =-\ infty} ^ {\ infty} x_ {s} (м) г\ ліворуч (n T_ {s} -м T_ {s}\ праворуч)\ номер\\
&=\ sum_ {m =-\ infty} ^ {\ infty} x_ {s} (m) g\ лівий ((n-m) T_ {s}\ праворуч)\ номер\\
&=\ sum_ {m=-\ infty} ^ {\ infty} x_ {s} (m)\ дельта (n-m)\ числове число\\
&=x_ {s} (n),
\ end {вирівняти}\ nonumber\]

який є бажаним результатом для реконструкції фільтрів.

Кардинальні сплайни

Оскільки існує багато безперервних сигналів часу, які вибірки до заданого дискретного сигналу часу, необхідні додаткові обмеження для ідентифікації конкретного з них. Наприклад, ми можемо вимагати нашої реконструкції, щоб отримати сплайн певного ступеня, який є сигналом, описаним у кускових частинок поліномами, що не перевищують цього ступеня. Крім того, ми можемо гарантувати, що функція та певна кількість її похідних є безперервними.

Це може бути досягнуто шляхом обмеження результату до діапазону множин певних сплайнів, званих базисними сплайнами або B-сплайнами. Зокрема, якщо потрібен сплайн\(n\) го ступеня з безперервними похідними до принаймні порядку\(n−1\), то бажана функція для даного\(T_s\) належить до прольоту\(\left\{B_{n}\left(t / T_{s}-k\right) \: | \: k \in \mathbb{Z}\right\}\) де

\[B_{n}=B_{0} * B_{n-1} \nonumber \]

для\(n≥1\) і

\ [B_ {0} (t) =\ left\ {\ begin {масив} {cc}
1 & -1/2<t<1/2\\
0 &\ text {інакше}
\ end {масив}\ справа. \ номер\]

Малюнок\(\PageIndex{2}\):\(B_n\) Базові сплайни показані на наведених вище ділянках. Зверніть увагу, що, крім функцій порядку 0 і порядку 1, ці функції не задовольняють умовам реконструкції фільтрів. Також зверніть увагу, що зі збільшенням порядку функції наближаються до функції Гаусса, яка є саме такою\(B_{\infty}\).

Однак базисні сплайни\(B_n\) не задовольняють умовам, які повинні бути фільтром реконструкції\(n≥2\), як показано на малюнку\(\PageIndex{2}\). Тим не менш,\(B_n\) вони корисні у визначенні кардинальних базисних сплайнів, які задовольняють умовам реконструкції фільтрів. Якщо ми дозволимо\(b_n\) бути зразки\(B_n\) на цілих чисел, то виходить, що\(b_n\) має\(b^{−1}_n\) обернену по відношенню до операції згортки для кожного\(n\). Це означає, що\(b_{n}^{-1} * b_{n}=\delta\). Кардинальний базисний сплайн порядку nn для реконструкції з періодом вибірки\(T_s\) визначається як

\[\eta_{n}(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} b_{n}^{-1}(k) B_{n}\left(t / T_{s}-k\right). \nonumber \]

Для того, щоб підтвердити, що це задовольняє умові бути фільтром реконструкції, зверніть увагу, що

\[\eta_{n}\left(m T_{s}\right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} b_{n}^{-1}(k) B_{n}(m-k)=\left(b_{n}^{-1} * b_{n}\right)(m)=\delta(m). \nonumber \]

Таким чином,\(\eta_n\) є дійсним фільтром реконструкції. \(\eta_n\)Оскільки сплайн\(n\) -го ступеня з неперервними похідними до порядку\(n−1\), результатом реконструкції буде сплайн\(n\) -го ступеня з неперервними похідними до порядку\(n−1\).

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Наведені вище графіки показують кардинальні базисні\(\eta_0\) сплайнові функції\(\eta_1\),\(\eta_2\),, і\(\eta_{\infty}\). Зверніть увагу, що функції задовольняють умовам реконструкції фільтрів. Крім того, зверніть увагу, що зі збільшенням порядку кардинальні базисні сплайни наближають функцію sinc, яка точно є\(\eta_{\infty}\). Крім того, ці фільтри є випадковими.

Фільтр низьких частот з імпульсною характеристикою, рівною сплайну\(\eta_0\) кардинальної основи порядку 0, є одним з найпростіших прикладів фільтра реконструкції. Він просто розширює значення дискретного тимчасового сигналу на половину періоду вибірки на кожну сторону кожного зразка, виробляючи кусково-постійну реконструкцію. Таким чином, результат є переривчастим для всіх непостійних дискретних сигналів часу.

Аналогічно, фільтр низьких частот з імпульсною характеристикою, рівною сплайну\(\eta_1\) кардинальної основи порядку 1, є ще одним із найпростіших прикладів фільтра реконструкції. Він просто з'єднує сусідні зразки прямою лінією, виробляючи кусково-лінійну реконструкцію. Таким чином, реконструкція є безперервною для всіх можливих дискретних сигналів часу. Однак, якщо зразки не є колінеарними, результат має переривчасті перші похідні.

Загалом, подібні твердження можна зробити для фільтрів низьких частот з імпульсними відгуками, рівними сплайнам кардинальної основи будь-якого порядку. Використовуючи\(n\) сплайн порядку кардинальної основи\(\eta_n\), результатом є кусково градусний поліном. Крім того, він має безперервні похідні щонайменше до порядку\(n−1\). Однак, якщо всі зразки не є крапками на поліномі ступеня не більше\(n\), похідна порядку nn буде переривчастою.

Реконструкції дискретного часового сигналу, наведеного на рисунку, з\(\PageIndex{4}\) використанням декількох з цих фільтрів наведені на рис\(\PageIndex{5}\). Зі збільшенням порядку сплайна кардинальної основи зверніть увагу, що реконструкція наближається до того, що кардинал сплайна нескінченного порядку\(\eta_{\infty}\), функція sinc. Як буде показано в наступному розділі про ідеальну реконструкцію, особливо важливу роль в обробці сигналів відіграють фільтри з імпульсною характеристикою, рівною функції sinc.

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Наведений вище графік показує приклад дискретної функції часу. Ця дискретна функція часу буде реконструйована за допомогою періоду вибірки з\(T_s\) використанням декількох кардинальних базисних сплайнів на малюнку\(\PageIndex{5}\).

Рисунок\(\PageIndex{5}\): Наведені вище графіки показують інтерполяції дискретного часового сигналу, наведеного на малюнку,\(\PageIndex{4}\) за допомогою фільтрів низьких частот з імпульсними відгуками, заданими сплайнами кардинальної основи, показаними на малюнку\(\PageIndex{3}\). Зверніть увагу, що інтерполяції стають все більш гладкими і наближаються до інтерполяції sinc у міру збільшення порядку.

Резюме реконструкції

Реконструкція безперервного сигналу часу з дискретного тимчасового сигналу може бути здійснена за кількома схемами. Однак важливо зазначити, що реконструкція не є оберненою вибіркою і створює лише один можливий безперервний сигнал часу, який відбирає заданий дискретний сигнал часу. Як висвітлюється в наступному модулі, досконала реконструкція сигналу безперервного часу, обмеженого смугою, з його вибіркової версії можлива за допомогою формули реконструкції Віттакера-Шеннона, яка використовує ідеальний фільтр низьких частот та його імпульсну характеристику функції sinc, якщо частота дискретизації достатня. високий.