10.2: Теорема вибірки

Вступ

З введенням концепції дискретизації сигналу, яка виробляє дискретний сигнал часу шляхом вибору значень безперервного сигналу часу в рівномірно розташованих точках часу, тепер можна обговорити один з найважливіших результатів обробки сигналів, теорему вибірки Найквіста-Шеннона. Часто просто називається теоремою вибірки, ця теорема стосується сигналів, відомих як сигнали, обмежені смугою, зі спектрами, які дорівнюють нулю для всіх частот з абсолютним значенням, більшим або рівним певному рівню. Теорема має на увазі, що існує досить висока частота дискретизації, при якій обмежений смугою сигнал може бути відновлений саме зі своїх зразків, що є важливим етапом обробки сигналів безперервного часу за допомогою інструментів дискретної обробки тимчасових сигналів.

Теорема про вибірку Найквіста-Шеннона

Постановка теореми вибірки

Теорема вибірки Найквіста-Шеннона стосується сигналів з безперервними часовими перетвореннями Фур'є, які є лише ненульовими на інтервалі\((−B,B)\) для деякої константи\(B\). Така функція, як кажуть, обмежується\((−B,B)\). По суті, теорема вибірки вже була неявно введена в попередньому модулі, що стосується вибірки. З огляду на неперервні сигнали часу\(x\) з безперервним тимчасовим перетворенням Фур'є\(X\), нагадаємо, що\(X_s\) спектр вибіркового сигналу\(x_s\) з періодом дискретизації\(T_s\) задається

\[X_{s}(\omega)=\frac{1}{T_{s}} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X\left(\frac{\omega-2 \pi k}{T_{s}}\right). \nonumber \]

Раніше було зазначено,\(x\) що якщо bandlimited to\((−\pi/T_s,\pi/T_s)\), період\(X_s\) центрування про походження має ту ж форму, що і\(X\) масштабована за частотою, оскільки не відбувається псевдонімів. Це проілюстровано на малюнку\(\PageIndex{1}\). Отже, якщо будь-які два сигнали безперервного часу,\((−\pi/T_s,\pi/T_s)\) обмежених діапазоном, відбираються до одного і того ж сигналу, вони мали б однакове безперервне перетворення Фур'є і, таким чином, будуть ідентичними. Таким чином, для кожного дискретного тимчасового сигналу існує унікальний\((−\pi/T_s,\pi/T_s)\) обмежений смугою безперервного часу сигнал, який відбирає дискретний сигнал часу з періодом вибірки\(T_s\). Тому цей\((−\pi/T_s,\pi/T_s)\) обмежений смугою сигнал можна знайти із зразків шляхом інвертування цієї біекції.

У цьому і полягає суть теореми вибірки. Більш формально теорема вибірки стверджує наступне. Якщо смуга\(x\) сигналуобмежена\((−B,B)\), то він повністю визначається його зразками з частотою дискретизації\(\omega_s=2B\). Тобто,\(x\) може бути реконструйований саме з його зразків з\(x_s\) частотою дискретизації\(\omega_s=2B\). Кутову частоту часто\(2B\) називають кутовою швидкістю Найквіста. Аналогічно, це можна констатувати з точки зору періоду відбору проб\(T_s=2 \pi / \omega_s\). Якщо смуга\(x\) сигналуобмежена\((−B,B)\), то він повністю визначається його зразками з періодом вибірки\(T_s=\pi/B\). Тобто,\(x\) може бути реконструйований саме з його зразків\(x_s\) з періодом відбору проб\(T_s\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Показаний спектр сигналів, обмежених смугою, а також спектри його зразків зі швидкістю вище і нижче частоти Найквіста. Як показано, псевдонім не відбувається вище частоти Найквіста, а період спектра зразків, зосереджених навколо походження, має ту ж форму, що і спектр вихідного сигналу, масштабованого по частоті. Нижче частоти Найквіста може відбуватися згладжування і змушує спектр приймати інший, ніж вихідний спектр.

Доказ теореми вибірки

Вищезазначене обговорення вже показало теорему вибірки неформальним та інтуїтивним способом, який можна легко вдосконалити у формальний доказ. Однак оригінальне доказ теореми вибірки, яке буде наведено тут, дає цікаве спостереження, що зразки сигналу з періодом\(T_s\) забезпечують коефіцієнти рядів Фур'є для вихідного спектра сигналу на\(\left(-\pi / T_{s}, \pi / T_{s}\right)\).

\(x\)Дозволяти бути\(\left(-\pi / T_{s}, \pi / T_{s}\right)\) смуговим сигналом і\(x_s\) бути його зразки з періодом вибірки\(T_s\). Ми можемо представити\(x\) в терміні його спектра\(X\) за допомогою оберненого безперервного часу перетворення Фур'є і той факт, що\(x\) є обмеженим діапазоном. Результатом є

\[x(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi / T_{x}}^{\pi / T_{s}} X(\omega) e^{j \omega t} d \omega \nonumber \]

Це подання\(x\) може бути вибірка з періодом відбору проб\(T_s\) для отримання

\[x_{s}(n)=x_{s}\left(n T_{s}\right)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi / T_{s}}^{\pi / T_{s}} X(\omega) e^{j \omega n T_{s}} d \omega \nonumber \]

Помітивши, що\(x_s(n)\) це вказує\(X(\omega)\) на\(n\) те, що є коефіцієнтом безперервного часу рядів Фур'є для інтервалу\(\left(-\pi / T_{s}, \pi / T_{s}\right)\), показано, що зразки визначають вихідний спектр\(X(\omega)\) і, за розширенням, сам вихідний сигнал.

Ідеальна реконструкція

Іншим способом показати теорему вибірки є отримання формули реконструкції, яка дає вихідний сигнал зі своїх зразків\(\tilde{x}=x\)\(x_s\) з періодом вибірки, за умови\(T_s\),\(x\) що bandlimited to\(\left(-\pi / T_{s}, \pi / T_{s}\right)\). Це робиться в модулі на ідеальній реконструкції. Однак результат, відомий як формула реконструкції Віттакера-Шеннона, буде викладено тут. Якщо необхідні умови дотримуються, то ідеальну реконструкцію дає

\[x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_{s}(n) \operatorname{sinc}\left(t / T_{s}-n\right) \nonumber \]

де функція sinc визначається як

\[\operatorname{sinc}(t)=\frac{\sin (\pi t)}{\pi t}. \nonumber \]

З цього зрозуміло, що набір

\[\left\{\operatorname{sinc}\left(t / T_{s}-n\right) \: | \: n \in \mathbb{Z}\right\} \nonumber \]

формує ортогональну основу для множини\(\left(-\pi / T_{s}, \pi / T_{s}\right)\) смугообмежених сигналів, де коефіцієнтами\(\left(-\pi / T_{s}, \pi / T_{s}\right)\) сигналу в цій основі є його зразки з періодом дискретизації\(T_s\).

практичні наслідки

Дискретна тимчасова обробка сигналів безперервного часу

Теорема вибірки Найквіста-Шеннона та формула реконструкції Віттакера-Шеннона дозволяють дискретно обробляти тимчасові сигнали безперервного часу. Оскільки будь-який лінійний інваріантний фільтр часу виконує множення в частотній області, результатом застосування лінійного інваріантного фільтра часу до сигналу з обмеженим діапазоном є вихідний сигнал з тим же діапазоном. Оскільки вибірка обмежений смугою безперервного сигналу часу вище швидкості Nyquist виробляє дискретний сигнал часу зі спектром тієї ж форми, що і вихідний спектр, дискретний фільтр часу може змінити спектр зразків і ідеально реконструювати вихід, щоб отримати той же результат, як безперервний фільтр часу. . Це дозволяє використовувати цифрові обчислювальні потужності та гнучкість для безперервної обробки сигналів часу, а також. Це більш детально описано в заключному модулі цієї глави.

Психоакустика

Властивості фізіології та психології людини часто інформують вибір дизайну в технологіях, призначених для взаємодії з людьми. Наприклад, цифрові пристрої, що займаються звуком, використовують частоти дискретизації, пов'язані з частотним діапазоном людських вокалізацій та частотним діапазоном слухової чутливості людини. Оскільки більшість звуків у людській мові концентрують більшу частину своєї енергії сигналу між 5 Гц і 4 кГц, більшість телефонних систем відкидають частоти вище 4 кГц і вибірки зі швидкістю 8 кГц. Відкидання частот, більших або рівних 4 кГц за допомогою фільтра згладжування, важливо, щоб уникнути згладжування, що негативно вплине на якість вихідного звуку, як описано в наступному модулі. Аналогічно людський слух чутливий до частот від 20 Гц до 20 кГц. Тому частоти дискретизації для загальних звукових сигналів, розміщених на компакт-дисках, були обрані як більші за 40 кГц, а весь вміст частот, що перевищує або дорівнює деякому рівню, відкидається. Конкретне значення, яке було обрано, 44.1 кГц, було обрано з інших причин, але теорема вибірки та діапазон людського слуху забезпечили нижню межу діапазону вибору.

Резюме теореми вибірки

Теорема вибірки Найквіста-Шеннона стверджує, що смуга сигналів, обмежена до,\(\left(-\pi / T_{s}, \pi / T_{s}\right)\) може бути реконструйована саме з її зразків з періодом вибірки\(T_s\). Формула інтерполяції Віттакера-Шеннона, яка буде далі описана в розділі про досконалу реконструкцію, забезпечує реконструкцію унікального сигналу безперервного часу,\(\left(-\pi / T_{s}, \pi / T_{s}\right)\) обмеженого смугою, який відбирає заданий дискретний часовий сигнал з періодом дискретного часу\(T_s\). Це дозволяє дискретно обробляти тимчасові сигнали безперервного часу, яка має багато потужних додатків.