10.1: Вибірка сигналу

Вступ

Цифрові комп'ютери можуть обробляти дискретні сигнали часу, використовуючи надзвичайно гнучкі та потужні алгоритми. Однак більшість сигналів, що цікавлять, є сигналами безперервного часу, саме так дані майже завжди з'являються в природі. Цей модуль представляє концепції перетворення безперервних сигналів часу в дискретні сигнали часу за допомогою процесу, який називається вибіркою.

Відбір проб

Вибірка безперервного сигналу часу виробляє дискретний сигнал часу, вибираючи значення безперервного сигналу часу в рівномірно розташованих точках часу. Таким чином, дискретизація сигналу безперервного часу\(x\) з періодом дискретизації\(T_s\) дає дискретний часовий сигнал, який\(x_s\) визначається\(x_s(n)=x(nT_s)\). Потім кутова частота дискретизації задається\(\omega_s=2 \pi /T_s\).

Це повинно бути інтуїтивно зрозуміло, що кілька безперервних сигналів часу вибірки з однаковою швидкістю можуть виробляти один і той же дискретний сигнал часу, оскільки незліченно багато безперервних функцій часу можуть бути побудовані, які з'єднують точки на графіку будь-якої дискретної функції часу. Таким чином, вибірка з заданою швидкістю не призводить до ін'єкційних відносин. Значить, вибірка, в общем-то, не обертається.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Наприклад, розглянемо сигнали\(x\),\(y\) визначені

\[x(t)=\frac{\sin (t)}{t} \nonumber \]

\[y(t)=\frac{\sin (5 t)}{t} \nonumber \]

та їх вибіркові версії\(x_S\),\(y_s\) з періодом відбору проб\(T_s=\pi/2\)

\[x_{s}(n)=\frac{\sin (n \pi / 2)}{n \pi / 2} \nonumber \]

\[y_{s}(n)=\frac{\sin (n 5 \pi / 2)}{n \pi / 2}. \nonumber \]

Зауважте, що з

\[\sin (n 5 \pi / 2)=\sin (n 2 \pi+n \pi / 2)=\sin (n \pi / 2) \nonumber \]

з цього випливає, що

\[y_{s}(n)=\frac{\sin (n \pi / 2)}{n \pi / 2}=x_{s}(n). \nonumber \]

Отже,\(x\) і\(y\) надати приклад різних функцій з однаковими вибірковими версіями при певній частоті дискретизації.

Також корисно розглянути взаємозв'язок між представленнями частотної області функції безперервного часу і її вибірковими версіями. Розглянемо сигнал,\(x\) вибірковий з періодом вибірки\(T_s\) для отримання дискретного сигналу часу\(x_s(n)=x(nT_s)\). Спектр\(X_s(\omega)\) для\(\omega \in[-\pi, \pi)\) of\(x_s\) задається

\[X_{s}(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x\left(n T_{s}\right) e^{-j \omega n}. \nonumber \]

Використовуючи безперервне перетворення Фур'є часу,\(x(tT_s)\) можна представити у вигляді

\[x\left(t T_{s}\right)=\frac{1}{2 \pi T_{s}} \int_{-\infty}^{\infty} X\left(\frac{\omega_{1}}{T_{s}}\right) e^{j \omega_{1} t} d \omega_{1}. \nonumber \]

Таким чином, одиниця періоду вибірки версії\(x(tT_s)\), яка\(x(nT_s)\) може бути представлена у вигляді

\[x\left(n T_{s}\right)=\frac{1}{2 \pi T_{s}} \int_{-\infty}^{\infty} X\left(\frac{\omega_{1}}{T_{s}}\right) e^{j \omega_{1} n} d \omega_{1}. \nonumber \]

Це алгебраїчно еквівалентно представленню

\[x\left(n T_{s}\right)=\frac{1}{T_{s}} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} X\left(\frac{\omega_{1}-2 \pi k}{T_{s}}\right) e^{j\left(\omega_{1}-2 \pi k\right) n} d \omega_{1}, \nonumber \]

яка зменшується за періодичністю складних експоненціальних значень до

\[x\left(n T_{s}\right)=\frac{1}{T_{s}} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} X\left(\frac{\omega_{1}-2 \pi k}{T_{s}}\right) e^{j \omega_{1} n} d \omega_{1}. \nonumber \]

Звідси випливає, що

\[X_{s}(\omega)=\frac{1}{T_{s}} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\pi}^{\pi} X\left(\frac{\omega_{1}-2 \pi k}{T_{s}}\right) e^{j \omega_{1} n} d \omega_{1}\right) e^{-j \omega n}. \nonumber \]

Відзначивши, що вищевказаний вираз містить ряд Фур'є та обернену пару рядів Фур'є, випливає, що

\[X_{s}(\omega)=\frac{1}{T_{s}} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X\left(\frac{\omega-2 \pi k}{T_{s}}\right). \nonumber \]

Отже, спектр вибіркового сигналу інтуїтивно є масштабованою сумою нескінченної кількості зміщених та масштабованих за часом копій вихідного спектру сигналу. Згладжування, яке буде детально розглянуто в наступних модулів, відбувається, коли ці зміщені копії спектра перекриваються і сумуються разом. Зверніть увагу, що коли вихідний сигнал\(x\) смугаобмежений,\((−\pi /T_s, \pi /T_s)\) не відбувається перекриття, тому кожен період спектра вибіркового сигналу має ту ж форму, що і вихідний спектр сигналу. Це говорить про те, що якщо ми відбираємо сигнал з обмеженою смугою при досить високій частоті дискретизації, ми зможемо відновити його з його зразків, як буде далі описано в модулі теореми вибірки Найквіста-Шеннона та про ідеальну реконструкцію.

Резюме вибірки

Вибірка безперервного сигналу часу виробляє дискретний сигнал часу, вибираючи значення безперервного сигналу часу в однаково віддалених точках часу. Однак ми показали, що ця залежність не є ін'єкційною, оскільки кілька сигналів безперервного часу можуть бути відібрані з однаковою швидкістю для отримання однакового дискретного сигналу часу. Це пов'язано з явищем під назвою згладжування, яке буде розглянуто в наступних модулів. Отже, процес відбору проб не є, в загальному, оборотним. Тим не менш, як буде показано в модулі, що стосується реконструкції, сигнал безперервного часу може бути відновлений з його вибіркової версії, якщо деякі додаткові припущення дотримуються.