Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

9.5: Дискретна згортка часу та DTFT

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    34179

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Вступ

    Цей модуль розглядає згортку дискретних сигналів у часовій та частотній областях.

    Дискретний час згортки

    Дискретне перетворення Фур'є

    DTFT перетворює дискретний сигнал нескінченної довжини у часовій області в скінченну довжину (або\(2 \pi\) -періодичний) безперервний сигнал у частотній області.

    DTFT

    \[X(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) e^{-(j \omega n)} \nonumber \]

    Зворотний DTFT

    \[x(n)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} X(\omega) e^{j \omega n} d \omega \nonumber \]

    Демонстрація

    Дискретна згортка Демо
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Взаємодійте (коли онлайн) з Mathematica CDF, що демонструє дискретну згортку. Щоб завантажити, клацніть правою кнопкою миші та збережіть як .cdf.

    Сума згортки

    Як уже згадувалося вище, сума згортки забезпечує стислий, математичний спосіб вираження виходу системи LTI на основі довільного вхідного сигналу дискретного часу та імпульсної характеристики системи. Сума згортки виражається як

    \[y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n-k] \nonumber \]

    Як і у випадку з безперервним часом, згортка представлена символом\(*\), і може бути записана як

    \[y[n]=x[n] * h[n] \nonumber \]

    Згортка комутативна. Детальніше про характеристики згортки читайте про властивості згортки (розділ 3.4).

    Теорема згортки

    \(f\)\(g\)Дозволяти і бути дві функції зі згорткою\(f*g\). \(F\)Дозволяти оператор перетворення Фур'є. Тоді

    \[F(f * g)=F(f) \cdot F(g) \nonumber \]

    \[F(f \cdot g)=F(f) * F(g) \nonumber \]

    Застосовуючи обернене перетворення Фур'є\(F^{−1}\), ми можемо записати:

    \[f * g=F^{-1}(F(f) \cdot F(g)) \nonumber \]

    Висновок

    Перетворення Фур'є згортки є точковим добутком перетворень Фур'є. Іншими словами, згортка в одній області (наприклад, часовій області) відповідає точковому множенню в іншій області (наприклад, частотній області).