Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8.5: Безперервна згортка часу та CTFT

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    34100

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Вступ

    Цей модуль розглядає згортку безперервних сигналів у часовій та частотній областях.

    Безперервне перетворення Фур'є

    CTFT перетворює безперервний сигнал нескінченної довжини у часовій області в нескінченний безперервний сигнал у частотній області.

    CTFT

    \[\mathcal{F}(\Omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-(j \Omega t)} d t \nonumber \]

    Зворотний CTFT

    \[f(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \mathcal{F}(\Omega) e^{j \Omega t} d \Omega \nonumber \]

    Інтегральна згортка

    Інтеграл згортки виражає вихід системи LTI на основі вхідного сигналу\(x(t)\), і імпульсної характеристики системи,\(h(t)\). Інтеграл згортки виражається як

    \[ y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t-\tau) d \tau \nonumber \]

    Згортка є настільки важливим інструментом, що вона представлена символом *, і може бути записана як

    \[y(t)=x(t) * h(t) \nonumber \]

    Згортка комутативна. Детальніше про характеристики інтеграла згортки читайте про Властивості згортки (розділ 3.4).

    Демонстрація

    Ctft Деноїз Демо
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Взаємодійте (у режимі онлайн) з Mathematica CDF, що демонструє використання CTFT у шумізації сигналу. Щоб завантажити, клацніть правою кнопкою миші та збережіть ціль як .cdf.

    Теорема згортки

    \(f\)\(g\)Дозволяти і бути дві функції зі згорткою\(f*g\). \(F\)Дозволяти оператор перетворення Фур'є. Тоді

    \[F(f * g)=F(f) \cdot F(g) \nonumber \]

    \[F(f \cdot g)=\frac{1}{2 \pi} F(f) * F(g) \nonumber \]

    Застосовуючи обернене перетворення Фур'є\(F^{−1}\), ми можемо записати:

    \[f * g=F^{-1}(F(f) \cdot F(g)) \nonumber \]

    Висновок

    Перетворення Фур'є згортки є точковим добутком перетворень Фур'є. Іншими словами, згортка в одній області (наприклад, часовій області) відповідає точковому множенню в іншій області (наприклад, частотній області).