8.4: Властивості CTFT

Last updated
Save as PDF

Page ID: 34091

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вступ

Цей модуль розгляне деякі основні властивості безперервного перетворення Фур'є (CTFT) (розділ 8.2).

Примітка

Ми будемо обговорювати ці властивості для аперіодичних сигналів безперервного часу, але розуміємо, що дуже схожі властивості мають сигнали дискретного часу та періодичні сигнали, а також.

Обговорення властивостей перетворення Фур'є

Лінійність

Комбіновані властивості додавання і скалярного множення в таблиці вище демонструють основну властивість лінійності. Ви повинні бачити, що якщо взяти перетворення Фур'є лінійної комбінації сигналів, то вона буде такою ж, як лінійна комбінація перетворень Фур'є кожного з окремих сигналів. Це має вирішальне значення при використанні таблиці (Розділ 8.3) перетворень для пошуку перетворення більш складного сигналу.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Почнемо з наступного сигналу:

\[z(t)=a f_{1}(t)+b f_{2}(t) \nonumber \]

Тепер, після того, як ми візьмемо перетворення Фур'є, показане в рівнянні нижче, зверніть увагу, що лінійна комбінація членів не впливає на перетворення.

\[Z(\omega)=a F_{1}(\omega)+b F_{2}(\omega) \nonumber \]

Симетрія

Симетрія - це властивість, яка може зробити життя досить легким при вирішенні завдань, пов'язаних з перетвореннями Фур'є. В основному, що ця властивість говорить, що оскільки прямокутна функція в часі є функцією sinc за частотою, то функція sinc у часі буде прямокутною функцією за частотою. Це прямий результат подібності між прямим CTFT і зворотним CTFT. Єдина відмінність - масштабування по\(2 \pi\) і розворот частоти.

Масштабування часу

Ця властивість стосується впливу на частотно-доменне представлення сигналу, якщо змінна часу змінна. Найважливіша концепція, яку слід розуміти для властивості масштабування часу, полягає в тому, що сигнали, вузькі за часом, будуть широкими за частотою і навпаки. Найпростішим прикладом цього є дельта-функція, одиничний імпульс з дуже малою тривалістю, в часі, який стає нескінченною постійною функцією по частоті.

Наведена вище таблиця показує цю ідею для загального перетворення з часової області в частотну область сигналу. Ви повинні бути в змозі легко помітити, що ці рівняння показують відносини, згадані раніше: якщо змінна часу збільшена, то частотний діапазон буде зменшений.

Зсув часу

Зсув часу показує, що зсув у часі еквівалентний лінійному фазовому зсуву частоти. Оскільки вміст частоти залежить тільки від форми сигналу, яка незмінна в часовому зсуві, то буде змінений тільки фазовий спектр. Це властивість доведено нижче:

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Почнемо з здачі\(z(t)=f(t−\tau)\). Тепер візьмемо перетворення Фур'є з попереднім виразом, заміщеним у for\(z(t)\).

\[Z(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t-\tau) e^{-(i \omega t)} \mathrm{d} t \nonumber \]

Тепер зробимо просту зміну змінних, де\(\sigma=t-\tau\). За допомогою розрахунків нижче ви можете побачити, що змінюються лише змінні в експоненціальній, таким чином змінюючи лише фазу в частотній області.

\ [\ почати {вирівняти}
Z (\ омега) &=\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} f (\ сигма) e^ {- (i\ омега (\ сигма+\ тау) t)}\ mathrm {d}\ tau\ nonumber\\
&=e^ {- (i\ омега\ тау)}\ int_ {-\ int_ {-\ infty} {\ infty} f (\ сигма) e^ {- (i\ омега\ сигма)}\ mathrm {d}\ сигма\ nonumber\\
&=e^ {- (i\ омега\ тау)} F (\ омега)
\ кінець {вирівняти}\ nonumber\]

згортка

Згортка є однією з великих причин перетворення сигналів в частотну область, оскільки згортка в часі стає множенням на частоту. Ця властивість також є ще одним чудовим прикладом симетрії між часом і частотою. Це також показує, що може бути мало, щоб отримати, змінивши частотну область, коли задіяно множення в часі.

Тут ми введемо інтеграл згортки, але якщо ви цього раніше не бачили або вам потрібно оновити пам'ять, то подивіться на модуль безперервної згортки часу (розділ 3.3) для більш глибокого пояснення та виведення.

\ [\ почати {вирівняти}
y (t) &=\ лівий (f_ {1} (t), f_ {2} (t)\ праворуч)\ номер\\
&=\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} f_ {1} (\ тау) f_ {2} (t-\ тау)\ mathrm {d}\ tau
\ кінець {вирівнювання}\ номер\]

Диференціація часу

Оскільки системи LTI (розділ 2.1) можуть бути представлені в терміні диференціальних рівнянь, з цією властивістю очевидно, що перетворення в частотну область може дозволити нам перетворити ці складні диференціальні рівняння в простіші рівняння, що включають множення та додавання. Це часто розглядається більш детально під час вивчення перетворення Лапласа (Розділ 11.1).

Відносини Парсеваля

\[\int_{-\infty}^{\infty}(|f(t)|)^{2} \mathrm{d} t=\int_{-\infty}^{\infty}(|F(\omega)|)^{2} \mathrm{d} f \nonumber \]

Співвідношення Парсеваля говорить нам, що енергія сигналу дорівнює енергії його перетворення Фур'є.

Модуляція (зсув частоти)

Модуляція абсолютно необхідна для комунікаційних додатків. Можливість перемістити сигнал на іншу частоту дозволяє нам скористатися різними частинами електромагнітного спектру - це те, що дозволяє нам передавати телебачення, радіо та інші програми через один простір без значних перешкод.

Доказ властивості зсуву частоти дуже схожий на властивість часового зсуву; однак тут ми використали б зворотне перетворення Фур'є замість перетворення Фур'є. Оскільки ми пройшли кроки в попередньому доказі зсуву часу, нижче ми просто покажемо початковий та останній крок до цього доказу:

\[z(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega-\phi) e^{j \omega t} d \omega \nonumber \]

Тепер ми б просто зменшити це рівняння через іншу зміну змінних і спростити терміни. Потім доведемо властивість, виражене в таблиці вище:

\[z(t)=f(t) e^{j \phi t} \nonumber \]

Демонстрація властивостей

Інтерактивна приклад демонстрації властивостей наведено нижче:

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Інтерактивна лабораторія обробки сигналів Віртуальний прилад, створений за допомогою Labview NI.

Зведена таблиця властивостей CTFT

Таблиця\(\PageIndex{1}\): Таблиця властивостей перетворення Фур'є
Назва операції	Сигнал (\(f(t)\))	Трансформувати (\(F(\omega)\))
Лінійність	\ (f (t)\))» клас = "лт-анг-22889">\(a\left(f_{1}, t\right)+b\left(f_{2}, t\right)\)	\ (F (\ омега)\))» клас = "lt-анг-22889">\(a\left(F_{1}, \omega\right)+b\left(F_{2}, \omega\right)\)
скалярне множення	\ (f (t)\))» клас = "лт-анг-22889">\(\alpha f(t)\)	\ (F (\ омега)\))» клас = "lt-анг-22889">\(\alpha F(\omega)\)
Симетрія	\ (f (t)\))» клас = "лт-анг-22889">\(F(t)\)	\ (F (\ омега)\))» клас = "lt-анг-22889">\(2 \pi f (-\omega)\)
Масштабування часу	\ (f (t)\))» клас = "лт-анг-22889">\(f(\alpha t)\)	\ (F (\ омега)\))» клас = "lt-анг-22889">\(\frac{1}{\|\alpha\|} F\left(\frac{w}{\alpha}\right)\)
Час зсуву	\ (f (t)\))» клас = "лт-анг-22889">\(f (t - \tau)\)	\ (F (\ омега)\))» клас = "lt-анг-22889">\(F(\omega) e^{-(j \omega \tau)}\)
Згортка в часі	\ (f (t)\))» клас = "лт-анг-22889">\(\left(f_{1}(t), f_{2}(t)\right)\)	\ (F (\ омега)\))» клас = "lt-анг-22889">\(F_{1}(t) F_{2}(t)\)
Згортка в частоті	\ (f (t)\))» клас = "лт-анг-22889">\(f_{1}(t) f_{2}(t)\)	\ (F (\ омега)\))» клас = "lt-анг-22889">\(\frac{1}{2 \pi}\left(F_{1}(t), F_{2}(t)\right)\)
Диференціація	\ (f (t)\))» клас = "лт-анг-22889">\(\frac{d^{n}}{d t^{n}} f(t)\)	\ (F (\ омега)\))» клас = "lt-анг-22889">\((j \omega)^{n} F(\omega)\)
Теорема Парсеваля	\ (f (t)\))» клас = "лт-анг-22889">\(\int_{-\infty}^{\infty}(\|f(t)\|)^{2} d t\)	\ (F (\ омега)\))» клас = "lt-анг-22889">\(\int_{-\infty}^{\infty}(\|F(\omega)\|)^{2} d f\)
Модуляція (зсув частоти)	\ (f (t)\))» клас = "лт-анг-22889">\(f(t) e^{j \phi t}\)	\ (F (\ омега)\))» клас = "lt-анг-22889">\(F(\omega-\phi)\)