8.3: Загальні перетворення Фур'є
- Page ID
- 34090
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Загальні властивості CTFT
| Сигнал часової області | Частотна область сигналу | Стан |
|---|---|---|
| \(e^{-(a t)} u(t)\) | \(\frac{1}{a+j \omega}\) | \(a>0\) |
| \(e^{at}u(−t)\) | \(\frac{1}{a-j \omega}\) | \(a>0\) |
| \(e^{−(a|t|)}\) | \(\frac{2a}{a^2+\omega^2}\) | \(a>0\) |
| \(te^{−(at)}u(t)\) | \(\frac{1}{(a+j \omega)^2}\) | \(a>0\) |
| \(t^ne^{−(at)}u(t)\) | \(\frac{n !}{(a+j \omega)^{n+1}}\) | \(a>0\) |
| \(\delta(t)\) | \(1\) | |
| \(1\) | \(2 \pi \delta(\omega)\) | |
| \(e^{j \omega_0 t}\) | \(2 \pi \delta\left(\omega-\omega_{0}\right)\) | |
| \( \cos (\omega_0 t) \) | \(\pi\left(\delta\left(\omega-\omega_{0}\right)+\delta\left(\omega+\omega_{0}\right)\right)\) | |
| \(\sin (\omega_0 t)\) | \(j \pi\left(\delta\left(\omega+\omega_{0}\right)-\delta\left(\omega-\omega_{0}\right)\right)\) | |
| \(u(t)\) | \(\pi \delta(\omega)+\frac{1}{j \omega}\) | |
| знак (\(t)\) | \(\frac{2}{j \omega}\) | |
| \(\cos \left(\omega_{0} t\right) u(t)\) | \(\frac{\pi}{2}\left(\delta\left(\omega-\omega_{0}\right)+\delta\left(\omega+\omega_{0}\right)\right)+\frac{j \omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\) | |
| \(\sin \left(\omega_{0} t\right) u(t)\) | \(\frac{\pi}{2 j}\left(\delta\left(\omega-\omega_{0}\right)-\delta\left(\omega+\omega_{0}\right)\right)+\frac{\omega_{0}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\) | |
| \(e^{-(a t)} \sin \left(\omega_{0} t\right) u(t)\) | \(\frac{\omega_{0}}{(a+j \omega)^{2}+\omega_{0}^{2}}\) | \(a>0\) |
| \(e^{-(a t)} \cos \left(\omega_{0} t\right) u(t)\) | \(\frac{a+j \omega}{(a+j \omega)^{2}+\omega_{0}^{2}}\) | \(a>0\) |
| \(u(t+\tau)-u(t-\tau)\) | \(2 \tau \frac{\sin (\omega \tau)}{\omega \tau}=2 \tau \operatorname{sinc}(\omega t)\) | |
| \(\frac{\omega_{0}}{\pi} \frac{\sin \left(\omega_{0} t\right)}{\omega_{0} t}=\frac{\omega_{0}}{\pi} \operatorname{sinc}\left(\omega_{0}\right)\) | \(u\left(\omega+\omega_{0}\right)-u\left(\omega-\omega_{0}\right)\) | |
| \ (\ почати {масив} {l} \ лівий (\ frac {t} {\ тау} +1\ вправо)\ лівий (u\ лівий (\ frac {t} {\ тау} +1\ вправо) -u\ лівий (\ frac {t} {\ tau} {\ tau} {\ tau} {\ tau} {\ tau} {\ tau} {\ tau} {\ tau} { \ tau} {\ tau} {\ tau} {\ tau} {\ tau} {\ tau} {\ tau} {\ tau} {\ tau} ліворуч (\ frac {t} {\ tau}\ праворуч) -u\ ліворуч (\ frac {t} {\ tau} -1\ праворуч)\ праворуч) =\\ \ ім'я оператора {triag}\ ліворуч (\ frac {t} {2\ tau}\ право) \ end {масив}\) |
\(\tau \operatorname{sinc}^{2}\left(\frac{\omega \tau}{2}\right)\) | |
| \(\frac{\omega_{0}}{2 \pi} \operatorname{sinc}^{2}\left(\frac{\omega_{0} t}{2}\right)\) | \ (\ почати {масив} {l} \ лівий (\ frac {\ омега} {\ omega_ {0}} +1\ вправо)\ лівий (\ frac {\ омега} {\ омега} {\ омега_ {0}} +1\ вправо) -u\ лівий (\ frac {\ омега} {\ omega_ {0}}\ праворуч) +\\ лівий (- \ frac {\ омега} {\ omega_ {0}} +1\ вправо)\ лівий (u\ лівий (\ frac {\ омега} {\ omega_ {0}}\ праворуч) -u\ ліворуч (\ frac {\\ омега} {\ omega_ {0}} -1\ праворуч)\ праворуч) =\\ \ ім'я оператора {triag}\ лівий (\ frac {\ омега} {2\ omega_ {0}}\ праворуч) \ end {масив}\) |
|
| \(\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-n T)\) | \(\omega_{0} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta\left(\omega-n \omega_{0}\right)\) | \(\omega_0 = \frac{2 \pi}{T}\) |
| \(e^{-\frac{t^{2}}{2 \sigma^{2}}}\) | \(\sigma \sqrt{2 \pi} e^{-\frac{\sigma^{2} \omega^{2}}{2}}\) |
triag [n] - функція трикутника для довільного дійсного значення\(n\).
\ [\ ім'я оператора {triag} [\ mathrm {n}] =\ left\ {\ begin {масив} {ll}
1+n &\ текст {якщо} -1\ leq n\ leq 0\\
1-n &\ text {if} 0<n\ leq 1\\
0 &\ text {інакше}
\ end {масив}\ право. \ номер\]