8.2: Безперервне перетворення Фур'є часу (CTFT)
- Page ID
- 34106
Вступ
У цьому модулі ми виведемо розширення для будь-якої довільної функції безперервного часу, і при цьому виведемо безперервне перетворення Фур'є часу (CTFT).
Оскільки комплексні експоненціальні (Розділ 1.8) є власнимифункціями лінійних інваріантних (LTI) систем (розділ 14.5), обчислення вихідних\(\mathscr{H}\) даних системи LTI, заданої у\(e^{st}\) вигляді вхідних даних, становить просте множення, де власне значення,\(H(s) \in \mathbb{C}\) відповідне\(s\). Як показано на малюнку, простий експоненціальний вхід дасть результат
\[y(t)=H(s) e^{s t} \nonumber \]
Використовуючи це і те, що\(\mathscr{H}\) є лінійним, обчислення\(y(t)\) для комбінацій складних експоненціальних також є простим.
\ [\ почати {масив} {c}
c_ {1} e^ {s_ {1} t} +c_ {2} e^ {s_ {2} t}\ праворуч c_ {1} H\ ліворуч (s_ {1}\ праворуч) e^ {s_ {1} t} +c_ {2} H\ ліворуч (s_ {2}\ праворуч) e^ {s_ {1} t} +c_ {2} H\ ліворуч (s_ {2}
\ праворуч) e^ {s_ {1} t} _ {2} t}\\ sum_ {n} c_ {n} e^ {s_ {n} t}\ праворуч\ sum_ {n} c_ {n} H\ лівий (s_ {n}\ праворуч) e^ {s_ {n} t}
\ кінець {масив}\ номер\]
Дія\(H\) на вхідні дані, такі як ті, що знаходяться в двох рівняннях вище, легко пояснити. \(\mathscr{H}\)незалежно масштабує кожну експоненціальну складову\(e^{s_nt}\) різним комплексним числом\(H(s_n) \in \mathbb{C}\). Таким чином, якщо ми можемо записати функцію\(f(t)\) як комбінацію складних експоненціальних, це дозволяє нам легко обчислити вихід системи.
Тепер ми розглянемо використання степеня складних експоненціальних, щоб побачити, як ми можемо представляти довільні сигнали у вигляді набору простіших функцій шляхом накладання ряду складних експоненціальних. Нижче ми представимо безперервне перетворення Фур'є (CTFT), яке зазвичай називають просто перетворенням Фур'є (FT). Оскільки CTFT має справу з неперіодичними сигналами, ми повинні знайти спосіб включити всі реальні частоти в загальні рівняння. Для CTFT ми просто використовуємо інтеграцію над дійсними числами, а не підсумовування цілих чисел, щоб висловити аперіодичні сигнали.
Синтез перетворення Фур'є
Жозеф Фур'є продемонстрував, що довільна\(s(t)\) може бути записана як лінійна комбінація гармонічних комплексних синусоїдів.
\[s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{j \omega_{0} n t} \label{8.3} \]
де\(\omega_0 = \frac{2\pi}{T}\) - основна частота. Майже для всіх\(s(t)\) практичних інтересів існує,\(c_n\) щоб зробити Equation\ ref {8.3} істинним. Якщо\(s(t)\) скінченна енергія (\(s(t) \in L^2 \: [0,T]\)), то рівність у Рівнянні\ ref {8.3} тримається у сенсі зближення енергії; якщо\(s(t)\) неперервна, то Equation\ ref {8.3} тримає точково. Крім того, якщо\(s(t)\) відповідає деяким м'яким умовам (умовам Діріхле), то Equation\ ref {8.3} тримає точково скрізь, крім точок розриву.
The\(c_n\) - називається коефіцієнтами Фур'є - говорить нам «скільки» синусоїди\(e^{j \omega_{0} n t}\) знаходиться в\(s(t)\). Формула відображається\(s(t)\) як сума складних експоненціальних, кожна з яких легко обробляється системою LTI (оскільки вона є власною функцією кожної системи LTI). Математично це говорить про те, що множина складних експоненціальних\(\left\{e^{j \omega_{0} n t}, \quad n \in \mathbb{Z}\right\}\) формує основу для простору Т-періодичних неперервних функцій часу.
Рівняння
Тепер, щоб взяти цей корисний інструмент і застосувати його до довільних неперіодичних сигналів, нам доведеться глибше заглибитися в використання принципу суперпозиції. \(s_T(t)\)Дозволяти періодичним сигналом, що мають період\(T\). Ми хочемо розглянути, що відбувається зі спектром цього сигналу, коли період переходить до нескінченності. Позначимо спектр для будь-якого передбачуваного значення періоду по\(c_n(T)\). Розраховуємо спектр за формулою Фур'є для періодичного сигналу, відомого як ряд Фур'є (докладніше про це виведенні див. Розділ про ряди Фур'є.)
\[c_{n}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} s(t) \exp \left(-j \omega_{0} t\right) d t \nonumber \]
де\(\omega_0 = \frac{2 \pi}{T}\) і де ми використовували симетричне розміщення інтервалу інтеграції про походження для подальшої зручності деривації. Ми змінюємо індекс частоти\(n\) n пропорційно в міру збільшення періоду. Визначте
\[S_{T}(f) \equiv T c_{n}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T}S_{T}(f) \exp \left(j \omega_{0} t\right) d t \nonumber \]
виготовлення відповідних серій Фур'є
\[s_{T}(t)=\sum_{-\infty}^{\infty} f(t) \exp \left(j \omega_{0} t\right) \frac{1}{T} \nonumber \]
Зі збільшенням періоду спектральні лінії стають ближче один до одного, стаючи континуумом. Тому
\[\lim _{T \rightarrow \infty} s_{T}(t) \equiv s(t)=\int_{-\infty}^{\infty} S(f) \exp \left(j \omega_{0} t\right) d f \nonumber \]
із
\[S(f)=\int_{-\infty}^{\infty} s(t) \exp \left(-j \omega_{0} t\right) d t \nonumber \]
Безперервне перетворення Фур'є
\[\mathscr{F}(\Omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-(j \Omega t)} \mathrm{d} t \label{8.9} \]
Зворотний CTFT
\[f(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \mathscr{F}(\Omega) e^{j \Omega t} \mathrm{d} \Omega \label{8.10} \]
Примітка
Не рідкість бачити наведену вище формулу, написану трохи інакше. Однією з найпоширеніших відмінностей є спосіб написання експоненціальної. Наведені вище рівняння використовують змінну радіальної частоти\(\Omega\) в експоненціальній\(\Omega = 2 \pi f \), де, але також часто включають більш явний вираз\(j 2 \pi ft\), в експоненціальну. Клацніть тут, щоб переглянути позначення, що використовуються в модулі DSP Connexion.
Ми знаємо з формули Ейлера, що\(\cos (\omega t)+\sin (\omega t)=\frac{1-j}{2} e^{j \omega t}+\frac{1+j}{2} e^{-j \omega t}\).
Демонстрація визначення CTFT
Приклади проблем
Вправа\(\PageIndex{1}\)
Знайти перетворення Фур'є (CTFT) функції
\ [f (t) =\ лівий\ {\ begin {масив} {l}
e^ {- (\ альфа т)}\ текст {якщо} t\ geq 0\
0\ текст {інакше}
\ end {масив}\ справа. \ номер\]
- Відповідь
-
Для того, щоб обчислити перетворення Фур'є, все, що нам потрібно використовувати, це Equation\ ref {8.9}, складні експоненціальні (Розділ 1.8) та основне числення.
\ [\ почати {вирівняти}
\ mathscr {F} (\ Омега) &=\ int_ {-\ intty} ^ {\ intty} f (t) e^ {- (j\ Омега т)}\ mathrm {d} t\ nonumber\\
&=\ int_ {0} ^ {\ intty} e^ {- (a t)}} e^ {(a t)} e^ {(a t)} e^ {Омега т)}\ математика {d} t\ number\\
&=\ int_ {0} ^ {\ infty} e^ {(-t) (a+j\ Омега)}\ mathrm {d} t\ номер\\
&= 0-\ frac {-1} {a+j\ Омега}\ номер\\ mathscr {F} & (
\ Омега) =\ frac {1} {\ альфа+j\ Омега}
\ кінець {вирівнювання}\ nonumber\]
Вправа\(\PageIndex{2}\)
Знайти обернене перетворення Фур'є ідеального фільтра нижніх частот, визначеного
\ [X (\ Омега) =\ лівий\ {\ begin {масив} {ll}
1 &\ текст {якщо} |\ Омега|\ leq\ mathrm {M}\\
0 &\ text {інакше}
\ end {масив}\ справа. \ номер\]
- Відповідь
-
Тут ми будемо використовувати Equation\ ref {8.10}, щоб знайти зворотний FT з урахуванням цього\(t \neq 0\).
\ [\ почати {вирівняти}
x (t) &=\ frac {1} {2\ pi}\ int_ {-M} ^ {M} e^ {j (\ Омега, т)}\ mathrm {d}\ Омега\ nonumber\\
&=\ ліворуч. \ frac {1} {2\ pi} e^ {j (\ Омега, т)}\ праворуч |_ {\ Омега,\ Омега = E^ {j w}}\ nonumber\\
nonumber\\ frac {M} {\ pi t}\ sin (M t)\ nonumber\
x (t) &=\ frac {M} {\ pi}\ лівий (\ оператор ім'я {sinc}\ frac {M t} {\ pi}\ праворуч)
\ кінець {вирівнювання}\ nonumber\]
Підсумок перетворення Фур'є
Оскільки складні експоненціальні є власнимифункціями систем LTI, часто корисно представляти сигнали, використовуючи в якості основи набір складних експоненціальних. Формула синтезу неперервного часу рядів Фур'є виражає неперервний час, періодичну функцію як суму неперервного часу, дискретні частотні комплексні експоненціальні показники.
\[f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{j \omega_{0} n t} \nonumber \]
Формула аналізу рядів Фур'є безперервного часу дає коефіцієнти розширення рядів Фур'є.
\[c_{n}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-\left(j \omega_{0} n t\right)} \mathrm{d} t \nonumber \]
В обох цих рівняннях\(\omega_0 = \frac{2 \pi}{T}\) є основна частота.