8.1: Безперервні аперіодичні сигнали часу

Last updated
Save as PDF

Page ID: 34101

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вступ

Цей модуль описує тип сигналів, на які діє безперервне перетворення Фур'є часу.

Відповідні простори

Безперервне перетворення Фур'є відображає сигнали нескінченної довжини (a-періодичного), безперервного часу\(L^2\) в нескінченну довжину, дискретні частотні сигнали в\(l^2\).

Періодичні та аперіодичні сигнали

Коли функція повторюється саме після деякого заданого періоду, або циклу, ми говоримо, що це періодичні. Періодичну функцію можна математично визначити як:

\[f(t)=f(t+m T) \quad m \in \mathbb{Z} \label{8.1} \]

де\(T>0\) являє собою основний період сигналу, який є найменшим позитивним значенням T для повторення сигналу. Через це ви також можете побачити сигнал, який називається Т-періодичним сигналом. Будь-яка функція, яка задовольняє це рівняння, вважається періодичною з періодом T.

Аперіодична функція КТ\(f(t)\) не повторюється для жодної\(T \in \mathbb{R}\); тобто не існує\(T\) такого, що має Equation\ ref {8.1}.

Припустимо, у нас така аперіодична функція\(f(t)\). Ми можемо побудувати періодичне розширення\(f(t)\) викликається\(f_{T_o}(t)\), де\(f(t)\) повторюється кожні\(T_0\) секунди. Якщо взяти межу як\(T_0 \rightarrow \infty\), ми отримаємо точну модель аперіодичного сигналу, для якої можуть бути застосовані всі правила, що регулюють періодичні сигнали, включаючи аналіз Фур'є (з важливою модифікацією). Докладніше про цю відмінність див. у модулі безперервного перетворення Фур'є за часом.

Демонстрація аперіодичного сигналу

Періодична Демо — Малюнок\(PageIndex{2}\): Взаємодійте (коли в Інтернеті) з Mathematica CDF демонструє періодичні та аперіодичні сигнали. Щоб завантажити, клацніть правою кнопкою миші та збережіть як .cdf.

Висновок

Будь-аперіодичний сигнал може бути визначений нескінченною сумою періодичних функцій, корисним визначенням, яке дозволяє використовувати на ньому аналіз Фур'є, припускаючи, що всі частоти присутні в сигналі.