7.4: Властивості ДТФС
- Page ID
- 34202
Вступ
У цьому модулі ми розглянемо основні властивості рядів Фур'є з дискретним часом. Ми почнемо з оновлення пам'яті наших основних рівнянь рядів Фур'є:
\[f[n]=\sum_{k=0}^{N-1} c_{k} e^{j \omega_{0} k n} \nonumber \]
\[c_{k}=\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{n=0}^{N-1} f[n] e^{-\left(j \frac{2 \pi}{N} k n\right)} \nonumber \]
Нехай\(\mathscr{F}(\cdot)\) позначають перетворення від\(f[n]\) до коефіцієнтів Фур'є.
\[\mathscr{F}(f[n])=c_{k} \quad, \quad k \in \mathbb{Z} \nonumber \]
\(\mathscr{F}(\cdot)\)відображає комплексні функції до послідовностей комплексних чисел.
Лінійність
\(\mathscr{F}(\cdot)\)є лінійним перетворенням.
Теорема\(\PageIndex{1}\)
Якщо\(\mathscr{F}(f[n])=c_{k}\) і\(\mathscr{F}(g[n])=d_{k}\). Тоді
\[\mathscr{F}(\alpha f[n])=\alpha c_{k} \quad, \quad \alpha \in \mathbb{C} \nonumber \]
і
\[\mathscr{F}(f[n]+g[n])=c_{k}+d_{k} \nonumber \]
Доказ
Легко. Просто лінійність інтеграла.
\ [\ почати {вирівняти}
\ mathscr {F} (f [n] +г [n]) &=\ sum_ {n=0} ^ {N} (f [n] +g [n]) e^ {-\ ліворуч (j\ omega_ {0} k n\ праворуч)}, k\ in\ mathbb {Z}\ nonumber\\
&=\ frac 1} {N}\ sum_ {n=0} ^ {N} f [n] e^ {-\ ліворуч (j\ омега_ {0} k n\ праворуч)} +\ frac {1} {N}\ sum_ {n=0} ^ {N} g [n] e^ {-\ ліво (j\ omega_ {0} k n\ праворуч)}, k\ in \ mathbb {Z}\ номер\\
&=c_ {k} +d_ {k}, k\ in\ mathbb {Z}\ номер\\
&= c_ {k} +d_ {k}
\ кінець {вирівнювання}\ nonumber\]
Зсув
Зсув у часі дорівнює фазовому зсуву коефіцієнтів Фур'є.
Теорема\(\PageIndex{2}\)
\(\mathscr{F}\left(f\left[n-n_{0}\right]\right)=e^{-\left(j \omega_{0} k n_{0}\right)} c_{k}\)якщо\(c_{k}=\left|c_{k}\right| e^{j \angle\left(c_{k}\right)}\), то
\[\left|e^{-\left(j \omega_{0} k n_{0}\right)} c_{k}\right|=\left|e^{-\left(j \omega_{0} k n_{0}\right)}\right|\left|c_{k}\right|=\left|c_{k}\right| \nonumber \]
\[ \angle\left(e^{-\left(j \omega_{0} n_{0} k\right)}\right)=\angle\left(c_{k}\right)-\omega_{0} n_{0} k \nonumber \]
Доказ
\ [\ почати {вирівняти}
\ mathscr {F}\ ліворуч (f\ ліворуч [n-n_ {0}\ праворуч]\ праворуч) &=\ frac {1} {N}\ sum_ {n=0}} ^ {N} f\ ліворуч [n-n_ {0}\ праворуч] e^ {-\ left (j\ omega_ {0} k\ праворуч)},\ quad k\ праворуч\ in\ mathbb {Z}\ номер\\
&=\ frac {1} {N}\ сума {n=-n_ {0}} ^ {n-n_ {0}} f\ лівий [n-n_ {0}\ праворуч] e^ {-\ лівий (j\ omega_ {0} k\ лівий (n-n_ {0}\ праворуч)\ праворуч)} e^ {-\ ліворуч (j\ omega_ {0} k n_ {0}\ право)}\ квадрад k\ in\ mathbb {Z}\ nonumber\\
&=\ frac {1} {N}\ сума {n = -n_ {0}} ^ {n-n_ {0}} [\ тильда {n}] e^ {-\ ліворуч (j\ omega_ {0} k\ тильда {n}\ праворуч)} e^ {-\ ліворуч (j\ омега_ {0} k n_ {0}\ праворуч)}\ квад,\ квад k\ in\ mathbb {Z}\ nonumber\\
&=e^ {-\ ліворуч (j\ omega_ {0} k\ тильда {n}\ праворуч)} c_ {k}\ quad,\ quad k\ in\ mathbb {Z}
\ end {вирівнювання}\ nonumber\]
Відносини Парсеваля
\[ \sum_{n=0}^{N}(|f[n]|)^{2}=N \sum_{k=0}^{N-1}\left(\left|c_{k}\right|\right)^{2} \nonumber \]
Співвідношення Парсеваля говорить нам, що енергія сигналу дорівнює енергії його перетворення Фур'є.
Примітка
Парсеваль говорить нам, що серія Фур'є карти\(L^2[0,N]\) на\(l^2\).
Малюнок\(\PageIndex{1}\)
Вправа\(\PageIndex{1}\)
\(f[n]\)Бо мати «скінченну енергію», що\(c_k\) вони роблять\( k \rightarrow \infty\)?
- Відповідь
-
\(\left(\left|c_{k}\right|\right)^{2}<\infty\)для\(f[n]\) того, щоб мати скінченну енергію.
Вправа\(\PageIndex{2}\)
Якщо\(\forall k,|k|>0:\left(c_{k}=\frac{1}{k}\right)\), є\(f \in L^{2} [ [ 0, N ] ] \)?
- Відповідь
-
Та тому\((|c_k|)^2=\frac{1}{k^2}\), що підсумовується.
Вправа\(\PageIndex{3}\)
Тепер, якщо\(\forall k,|k|>0:\left(c_{k}=\frac{1}{\sqrt{k}}\right)\), є\(f \in L^{2} [ [ 0, N ] ]\)?
- Відповідь
-
Ні, тому що\((|c_k|)^2=\frac{1}{k}\), що не підсумовується.
Швидкість розпаду ряду Фур'є визначає, чи\(f[n]\) має скінченну енергію.
Демонстрація теореми Парсевальса
Властивості симетрії
Правило\(\PageIndex{1}\): Even Signals
\(f[n] = f[-n]\)
\(\left\|c_{k}\right\|=\left\|c_{-k}\right\|\)
Доказ
\ (\ почати {вирівняти}
c_ {k} =&\ frac {1} {N}\ сума_ {0} ^ {N} [n]\ exp\ ліворуч [-j\ omega_ {0} k n\ праворуч]\ nonumber\\
=&\ frac {1} {N}\ сума {0} ^ {\ frac {N} {2}} f]\ exp\ ліворуч [-j\ omega_ {0} k n\ праворуч] +\ frac {1} {N}\ sum_ {\ frac {N} {2}} ^ {N} f [n]\ exp\ ліворуч [-j\ omega_ {0} k\ праворуч]\ nonumber\\
=&\ розрив {1} {N}\ sum_ {0} ^ {\ frac {N} {2}} f [-n]\ exp\ ліворуч [-j\ омега_ {0} k n\ праворуч] +\ frac {1} {N}\ sum_ {\ frac {N} {2}} ^ {N} f [-n]\ exp\ ліворуч [-n] j\ омега_ {0} k n\ право]\ nonumber\\
=&\ frac {1} {N}\ sum_ {0} ^ {N} [n]\ лівий [\ exp\ лівий [j\ omega_ {0} k n\ праворуч] +\ exp\ ліворуч [-j\ omega_ {0} k n\ праворуч] праворуч]\ nonumber\\
=&\ frac {1} {N}\ sum_ {0} ^ {N} [n] 2\ cos\ left [\ omega_ {0} k n\ праворуч]
\ кінець {вирівнювання}\)
Правило\(\PageIndex{2}\): Odd Signals
\(f[n]=-f[-n]\)
\(c_{k}=c_{-k}^*\)
Доказ
\ (\ почати {вирівняти}
c_ {k} =&\ frac {1} {N}\ сума_ {0} ^ {N} f [n]\ exp\ лівий [-\ mathrm {j}\ омега_ {0} k\ праворуч]\ nonumber\\
=&\ frac {1} {N}\ sum_ {0} ^ {\ frac {N} {2}} f [n]\ exp\ ліворуч [-\ mathrm {j}\ омега_ {0} k n\ право] +\ frac {1} {N}\ sum_ {\ frac {N} {2}} ^ {N} f [n]\ exp\ ліворуч [-\ mathrm {j}\ omega_ {0} k\ праворуч]\ числове число\\
= &\ frac {1} {N}\ sum_ {0} ^ {\ frac {N} {2}} f [n]\ exp\ ліворуч [-\ mathrm {j}\ omega_ {0} k\ правий] -\ frac {1} {N}\ сума {\ frac {N} {2}} ^ {N}} f [-n]\ exp\ ліворуч [\ mathrm {j}\ омега_ {0} k n\ право]\ числове число\\
= &-\ frac {1} {N}\ sum_ {0} ^ {N} f [n]\ лівий [\ exp\ лівий [\ mathrm {j}\ омега_ {0} k n\ право] -\ exp\ ліворуч [-\ mathrm {j}\ omega_ {0} k n\ право]\ nonumber\\
=&-\ frac {1} {N}\ sum_ {0} ^ {N} f [n] 2\ ім'я оператора {j\ sin}\ лівий [\ omega_ {0} k\ правий]
\ {вирівняти}\)
Правило\(\PageIndex{3}\): Real Signals
\(f[n] = f^*[n]\)
\(c_k = c_{-k}^*\)
Доказ
\ (\ displaystyle {\ begin {вирівнювання}
c_ {k} =&\ frac {1} {N}\ sum_ {0} ^ {N} f [n]\ exp\ лівий [-\ mathrm {j}\ omega_ {0} k\ правий]\ nonномер\\
= &\ frac {1} {N}\ сума {0} ^ {\ frac c {N} {2}} f [n]\ exp\ ліворуч [-\ mathrm {j}\ омега_ {0} k n\ право] +\ frac {1} {N}\ sum_ {\ frac {N} {2}} ^ {N} f [n]\ exp\ ліворуч [-\ mathrm {j}\ омега_ {0} k n\ право]\ nonumber\\
= &\ frac {1} {N}\ sum_ {0} ^ {\ frac {N} {2}} f [-n]\ exp\ ліворуч [-\ mathrm {j}\ omega_ {0} k n\ праворуч] +\ frac {1} {N}\ sum_ {\ frac {N} {2}} ^ {N} f [-n]\ exp\ ліворуч [-\ mathrm {j}\ омега_ {0} k n\ право]\ номер\
= &\ frac {1} {N}\ сума {0} ^ {N} f [n]\ лівий [\ exp\ лівий [\ mathrm {j}\ омега_ {0} k n\ право] +\ exp\ ліворуч [-\ mathrm {j}\ омега_ {0} k n\ право]\ nonumber\\ nonumber\
=&\ frac {1} {N}\ sum_ {0} ^ {N} f [n] 2\ cos\ ліворуч [\ omega_ {0} k\ n\ праворуч
\ end {вирівняти}}\)
Диференціація в області Фур'є
\[\left(\mathscr{F}(f[n])=c_{k}\right) \Rightarrow\left(\mathscr{F}\left(\frac{\mathrm{d} f[n]}{\mathrm{d} n}\right)=j k \omega_{0} c_{k}\right) \nonumber \]
Так як
\[f[n]=\sum_{i=0}^{N} c_{k} e^{j \omega_{0} k n} \nonumber \]
потім
\ [\ почати {вирівняти}
\ розрив {\ математика {d}} {\ mathrm {dn}} f [n] &=\ сума {k=0} ^ {N} c_ {k}\ frac {\ mathrm {d} e^ {j\ omega_0 k n}} {\ mathrm {dn}}\ nonumber\\
&=\ сума _ {k=0} ^ {N} c_ {k} j\ омега_ {0} k e^ {j\ omega_ {0} k n}
\ кінець {вирівнювання}\ nonumber\]
Диференціатор послаблює низькі\(f[n]\) частоти і підкреслює високі частоти. Він прибирає загальні тренди і акцентує ділянки різкої варіації.
Примітка
Поширений спосіб математично виміряти гладкість функції\(f[n]\) - побачити, скільки похідних є кінцевою енергією.
Це робиться, дивлячись на коефіцієнти Фур'є сигналу, зокрема, наскільки швидко вони затухають\(k \rightarrow \infty\). Якщо\(\mathscr{F}(f[n])=c_{k}\) і\(|c_k|\) має форму\(\frac{1}{k^l}\), то\(\mathscr{F}\left(\frac{\mathrm{d}^{m} f[n]}{\mathrm{d} n^{m}}\right)=\left(j k \omega_{0}\right)^{m} c_{k}\) і має вигляд\(\frac{k^m}{k^l}\). Отже, щоб\(m\) похідна мала скінченну енергію, нам потрібно
\[\sum_{k}\left(\left|\frac{k^{m}}{k^{l}}\right|\right)^{2}<\infty \nonumber \]
таким чином\(\frac{k^{m}}{k^{l}}\) розпадається швидше, ніж це\(\frac{1}{k}\) означає, що
\[2l - 2m > 1 \nonumber \]
або
\[l > \frac{2m+1}{2} \nonumber \]
При цьому швидкість розпаду ряду Фур'є диктує плавність.
Демо диференціації Фур'є
Інтеграція в домені Фур'є
Якщо
\[\mathscr{F}(f[n])=c_{k} \nonumber \]
потім
\[\mathscr{F}\left(\sum_{\eta=0}^{n} f[\eta]\right)=\frac{1}{j \omega_{0} k} c_{k} \nonumber \]
Примітка
Якщо\(c_0 \neq 0\), цей вираз не має сенсу.
Інтеграція підкреслює низькі частоти і послаблює високі частоти. Інтегратори виявляють загальні тенденції в сигналах і пригнічують короткострокові зміни (що є шумом у багатьох випадках). Інтегратори набагато приємніше, ніж диференціатори.
Демо інтеграції Фур'є
множення сигналу
З огляду на сигнал\(f[n]\) з коефіцієнтами Фур'є\(c_k\) і сигнал\(g[n]\) з коефіцієнтами Фур'є\(d_k\), можна визначити новий сигнал\(y[n]\), де\(y[n]=f[n]g[n]\). Ми виявляємо, що представлення серії Фур'є\(y[n]\)\(e_k\), є таким, що\(e_{k}=\sum_{l=0}^{N} c_{l} d_{k-l}\). Це означає, що множення сигналу в часовій області еквівалентно дискретному часу кругової згортки (розділ 4.3) в частотній області. Доказом цього є наступне:
\ [\ почати {вирівняти}
e_ {k} &=\ frac {1} {N}\ сума_ {n=0} ^ {N} f [n] g [n] e^ {-\ left (j\ omega_ {0} k n\ праворуч)}\ nonumber\\
&=\ frac {1} {N}\ sum_ {n = 0} ^ {N} сума_ {l=0} ^ {N} c_ {l} e^ {j\ омега_ {0} л н} г [n] e^ {-\ ліво (j\ омега_ {0} k n\ праворуч)}\ номер\\
&=\ сума {l=0} ^ {N} c_ {l} ліворуч (\ frac {1} {N}\ sum_ {n=0} ^ {N} g [n] e^ {-\ ліворуч (j\ омега_ {0} (k-l) n\ праворуч)}
\ nonumber\\ nonumber\ nonumber\]
Висновок
Як і інші перетворення Фур'є, DTFS має багато корисних властивостей, включаючи лінійність, рівну енергію в часовій і частотній областях, а також аналоги для зсуву, диференціювання та інтеграції.
| Нерухомість | Сигнал | DTFS |
|---|---|---|
| Лінійність | \(ax(n)+by(n)\) | \(aX(k)+bY(k)\) |
| Зсув часу | \(x(n−m)\) | \(X(k)e^{−j2 \pi mk/N}\) |
| Модуляція часу | \(x(n) e^{j 2 \pi m n / N}\) | \(X(k−m)\) |
| множення | \(x(n)y(n)\) | \(X(k)*Y(k)\) |
| Кругова згортка | \(x(n)*y(n)\) | \(X(k)Y(K)\) |