7.3: Загальні дискретні серії Фур'є

Last updated
Save as PDF

Page ID: 34209

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вступ

Після того, як ви отримали тверде розуміння основ аналізу рядів Фур'є та загального виведення коефіцієнтів Фур'є, корисно мати розуміння загальних сигналів, що використовуються в наближенні сигналів рядів Фур'є.

Виведення коефіцієнтів

Розглянемо квадратну\(f(x)\) хвилю довжиною 1. За діапазоном [0,1) це можна записати як

\ [x (t) =\ лівий\ {\ begin {масив} {rl}
1 & t\ leq\ frac {1} {2}\\
-1 & t>\ frac {1} {2}
\ end {масив}\ справа. \ номер\]

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Наближення ряду Фур'є до\(sq(t)\). Кількість членів у сумі Фур'є вказується на кожному графіку, а квадратна хвиля відображається пунктирною лінією протягом двох періодів.

Реальні рівні сигнали Враховуючи, що квадратна хвиля є реальним і рівним сигналом,

\(f(t)=f(−t)\)НАВІТЬ
\(f(t)=f^*(t)\)РЕАЛЬНИЙ

тому,

\(c_n=c_{−n}\)НАВІТЬ
\(c_n=c_n^*\)РЕАЛЬНИЙ

Виведення коефіцієнтів для інших сигналів

Квадратна хвиля є стандартним прикладом, але інші важливі сигнали також корисні для аналізу, і вони включені тут.

Постійна форма хвилі

Цей сигнал є відносно зрозумілим: змінюється в часі частина коефіцієнта Фур'є виймається, і ми залишаємося просто з постійною функцією протягом усього часу.

\[x(t)=1 \nonumber \]

Синусоїдна форма хвилі

За допомогою цього сигналу вибирається лише певна частота коефіцієнта, що змінюється в часі (враховуючи, що рівняння серії Фур'є включає синусоїду, це інтуїтивно зрозуміло), а всі інші фільтруються, і цей єдиний коефіцієнт, що змінюється в часі, буде точно відповідати бажаному сигналу.

\[x(t)=\cos (2 \pi t) \nonumber \]

Форма хвилі трикутника

\ [x (t) =\ лівий\ {\ begin {масив} {rl}
t & t\ leq 1/2\
1-t & t>1/2
\ end {масив}\ справа. \ номер\]

Це більш складна форма наближення сигналу до квадратної хвилі. Через властивості симетрії рядів Фур'є хвиля трикутника є реальним і непарним сигналом, на відміну від реального і навіть квадратного хвильового сигналу. Це означає, що

\(f(t)=−f(−t)\)НЕПАРНІ
\(f(t)=f^*(t)\)РЕАЛЬНИЙ

тому,

\(c_n=−c_{−n}\)
\(c_n=−c_n^*\)УЯВНИЙ

Пилоподібна форма хвилі

\[x(t) = t/2 \nonumber \]

Через властивості симетрії рядів Фур'є пилкоподібну хвилю можна визначити як реальний і непарний сигнал, на відміну від реального і навіть квадратного хвильового сигналу. Це має важливі наслідки для коефіцієнтів Фур'є.

Наближення сигналу DFT

Фур'є Дискретні Демо — Малюнок\(\PageIndex{6}\): Взаємодійте (коли онлайн) з Mathematica CDF демонструє загальні дискретні ряди Фур'є. Щоб завантажити, клацніть правою кнопкою миші та збережіть як .cdf.

Висновок

Підводячи підсумок, серед поширених Фур'є Преображень існує велика різноманітність. Тут представлена зведена таблиця з найважливішою інформацією.

Таблиця\(\PageIndex{1}\): Загальні дискретні перетворення Фур'є
Опис	Сигнал часової області для\(n \in \mathbb{Z}[0, N-1]\)	Частотна область сигналу\(k \in \mathbb{Z}[0, N-1]\)
Постійна функція	1	\(\delta(k)\)
Імпульсна одиниця	\(\delta(n)\)	\(\frac{1}{N}\)
Складна експоненціальна	\(e^{j 2 \pi m n / N}\)	\(\delta\left((k-m)_{N}\right)\)
Синусоїдна форма хвилі	\(\cos (j 2 \pi m n / N)\)	\(\frac{1}{2}\left(\delta\left((k-m)_{N}\right)+\delta\left((k+m)_{N}\right)\right)\)
Форма хвилі коробки\((M < N/2)\)	\(\delta(n)+\sum_{m=1}^{M} \delta\left((n-m)_{N}\right)+\delta\left((n+m)_{N}\right)\)	\(\frac{\sin ((2 M+1) k \pi / N)}{N \sin (k \pi / N)}\)
Форма хвилі Dsinc\((M<N/2)\)	\(\frac{\sin ((2 M+1) n \pi / N)}{\sin (n \pi / N)}\)	\(\delta(k)+\sum_{m=1}^{M} \delta\left((k-m)_{N}\right)+\delta((k+m)_N)\)