7.2: Дискретні часові ряди Фур'є (DTFS)
- Page ID
- 34195
Вступ
У цьому модулі ми виведемо розширення для дискретних часових, періодичних функцій, і при цьому виведемо дискретний часовий ряд Фур'є (DTFS) або дискретне перетворення Фур'є (DFT).
DTFS
Аналіз власних функцій
Оскільки складні експоненціальні (Розділ 1.8) є власними функціями лінійних інваріантних за часом (LTI) систем (розділ 14.5), обчислення вихідних\(\mathscr{H}\) даних системи LTI, заданої у\(e^{j \omega n}\) вигляді вхідних даних, становить просте множення\(\omega_0 = \frac{2 \pi k}{N}\), де і де власне значення,\(H[k] \in \mathbb{C}\) відповідне \(k\). Як показано на малюнку, простий експоненціальний вхід дасть результат
\[y[n]=H[k] e^{j \omega n} \nonumber \]
Використовуючи це і те, що\(\mathscr{H}\) є лінійним, обчислення\(y[n]\) для комбінацій складних експоненціальних також є простим.
\ [\ begin {масив} {c}
c_ {1} e^ {j\ omega_ {1} n} +c_ {2} e^ {j\ omega_ {2} n}\ стрілка вправо c_ {1} H\ ліворуч [k_ {1}\ право] e^ {j\ omega_ {1} n} +c_ {2} Н\ ліворуч [k_ {k_ 2}\ праворуч] e^ {j\ omega_ {1} n}
\\ sum_ {l} c_ {л} e^ {j\ омега_ {1} n}\ стрілка вправо\ сума_ {л} с_ {л} Н\ ліворуч [k_ {l}\ право] e^ {j\ омега_ {л} n}
\ end {масив}\ nonumber\]
Дія\(H\) на вхідні дані, такі як ті, що знаходяться в двох рівняннях вище, легко пояснити. \(\mathscr{H}\)незалежно масштабує кожну експоненціальну складову\(e^{j \omega_l n}\) різним комплексним числом\(H\left[k_{l}\right] \in \mathbb{C}\). Таким чином, якщо ми можемо записати функцію\(y[n]\) як комбінацію складних експоненціальних, це дозволяє нам легко обчислити вихід системи.
Синтез DTFS
Можна продемонструвати, що довільну дискретну часово-періодичну функцію\(f[n]\) можна записати як лінійну комбінацію гармонічних комплексних синусоїдів.
\[f[n]=\sum_{k=0}^{N-1} c_{k} e^{j \omega_{0} k n} \label{7.3} \]
де\(\omega_0=\frac{2\pi}{N}\) - основна частота. Майже для всіх\(f[n]\) практичних інтересів існує,\(c_n\) щоб зробити Equation\ ref {7.3} істинним. Якщо\(f[n]\) скінченна енергія (\(f[n] \in L^{2}[0, N]\)), то рівність у Рівнянні\ ref {7.3} тримається в сенсі зближення енергії; при дискретних сигналах часу немає занепокоєння щодо розбіжності, як це відбувається з сигналами безперервного часу.
The\(c_n\) - називається коефіцієнтами Фур'є - говорить нам «скільки» синусоїди\(e^{j \omega_{0} k n}\) знаходиться в\(f[n]\). Формула відображається\(f[n]\) як сума складних експоненціальних, кожна з яких легко обробляється системою LTI (оскільки вона є власною функцією кожної системи LTI). Математично це говорить про те, що множина складних експоненціальних є\(\left\{\forall k, k \in \mathbb{Z}:\left(e^{j \omega_{0} k n}\right)\right\}\) основою для простору N-періодичних дискретних часових функцій.
Демонстрація синтезу DFT
Аналіз DTFS
Скажімо, у нас є наступний набір чисел, які описують періодичний сигнал дискретного часу, де\(N=4\):
\[\{\ldots, 3,2,-2,1,3, \ldots\} \nonumber \]
Такий періодичний сигнал дискретного часу (з періодом\(N\)) можна розглядати як кінцевий набір чисел. Наприклад, ми можемо представити цей сигнал як періодичний сигнал або як лише один інтервал наступним чином:
(а)
(б)Примітка
Кардинальність множини дискретних часових сигналів з періодом\(N\) дорівнює\(\mathbb{C}^N\).
Тут ми збираємося сформувати основу, використовуючи гармонічні синусоїди. Перш ніж ми зазирнемо в це, варто нашого часу розглянути дискретно-часові, складні синусоїди трохи докладніше.
Комплексні синусоїди
Якщо ви знайомі з основним синусоїдним сигналом і зі складними експоненціальними показниками (розділ 1.8), то у вас не повинно виникнути проблем з розумінням цього розділу. У більшості текстів ви побачите дискретну складну синусоїду, зазначену як:
\[ e^{j \omega n} \nonumber \]
У комплексній площині
Складна синусоїда може бути безпосередньо нанесена на нашу складну площину, що дозволяє легко візуалізувати зміни складної синусоїди і витягти певні властивості. Абсолютна величина нашої складної синусоїди має наступну характеристику:
\[\left|e^{j \omega n}\right|=1, n \in \mathbb{R} \nonumber \]
який говорить про те, що наша складна синусоїда приймає значення лише на одиничному колі. Що стосується кута, то справедливо наступне твердження:
\[\angle\left(e^{j \omega n}\right)=w n \nonumber \]
Для отримання додаткової інформації див. розділ про експоненціальний дискретний часовий комплекс, щоб дізнатися про згладжування, негативні частоти та формальне визначення комплексного сполучення.
Тепер, коли ми розглянули поняття складних синусоїдів, повернемо нашу увагу назад на пошук основи для дискретно-часових періодичних сигналів. Подивившись на всі складні синусоїди, ми повинні відповісти на питання про те, які синусоїди дискретного часу нам потрібно представляти періодичні послідовності з крапкою\(N\).
Еквівалентне питання
Знайдіть\(\forall n, n=\{0, \ldots, N-1\}:\left(b_{k}=e^{j \omega_{k} n}\right)\) такий набір векторів, які\({b_k}\) є основою для\(\mathbb{C}^n\)
У відповідь на вищевказане питання спробуємо «гармонійні» синусоїди з основною частотою\(\omega_{0}=\frac{2 \pi}{N}\):
Гармонічна синусоїда
\[e^{j \frac{2 \pi}{N} k n} \nonumber \]
(а)
(б)
(c)\(e^{j\frac{2\pi}{N}kn}\)періодична з періодом\(N\) і має\(k\) «цикли» між\(n=0\) і\(n=N−1\).
Теорема\(\PageIndex{1}\)
Якщо ми дозволимо
\[b_{k}[n]=\frac{1}{\sqrt{N}} e^{j \frac{2\pi}{N} k n}, \quad n=\{0, \ldots, N-1\} \nonumber \]
де експоненціальний член є вектором в\(\mathbb{C}^N\), то\(\left.\left\{b_{k}\right\}\right|_{k=\{0, \ldots, N-1\}}\) є ортонормальною основою (Розділ 15.8) для\(\mathbb{C}^N\).
Доказ
Перш за все, ми повинні показати\({bk}\) це ортонормально, тобто.\(\langle b_{k}, b_{l}\rangle=\delta_{k l}\)
\[\langle b_{k}, b_{l} \rangle=\sum_{n=0}^{N-1} b_{k}[n] b_{l}[n]^{*}=\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} e^{j \frac{2 \pi}{N} k n} e^{-\left(j \frac{2 \pi}{N} l n\right)} \nonumber \]
\[\langle b_{k}, b_{l}\rangle=\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} e^{j \frac{2 \pi}{N}(l-k) n} \nonumber \]
Якщо\(l=k\), то
\ [\ почати {вирівняти}
\ лівий\ кут b_ {k}, b_ {l}\ праворуч\ діапазон &=\ frac {1} {N}\ sum_ {n=0} ^ {N-1} 1\ nonumber\
&=1
\ end {вирівнювання}\ nonumber\]
Якщо\(l \neq k\) тоді ми повинні використовувати «формулу часткового підсумовування», показану нижче:
\[\sum_{n=0}^{N-1} \alpha^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} \alpha^{n}-\sum_{n=N}^{\infty} \alpha^{n}=\frac{1}{1-\alpha}-\frac{\alpha^{N}}{1-\alpha}=\frac{1-\alpha^{N}}{1-\alpha} \nonumber \]
\[\langle b_{k}, b_{l}\rangle=\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} e^{j \frac{2 \pi}{N}(l-k) n} \nonumber \]
де в наведеному вище рівнянні ми можемо сказати\(\alpha=e^{j \frac{2 \pi}{N}(l-k)}\), що, і, таким чином, ми можемо побачити, як це у формі, необхідній для використання нашої часткової формули підсумовування.
\[ \langle b_{k}, b_{l}\rangle=\frac{1}{N} \frac{1-e^{j \frac{2 \pi}{N}(l-k) N}}{1-e^{j \frac{2 \pi}{N}(l-k)}}=\frac{1}{N} \frac{1-1}{1-e^{j \frac{2 \pi}{N}(l-k)}}=0\nonumber \]
Отже,
\ [\ ланголь b_ {k}, b_ {l}\ rangle=\ left\ {\ begin {масив} {ll}
1 &\ text {if} k=l\
0 &\ text {якщо} k\ neq l
\ end {масив}\ право. \ номер\]
Тому:\({b_k}\) є ортонормальним набором. \({b_k}\)також є основою (Розділ 14.1), оскільки існують\(N\) вектори, які лінійно незалежні (Розділ 14.1 - Лінійна незалежність) (ортогональність передбачає лінійну незалежність).
І нарешті, ми показали, що гармонічні синусоїди\(\left\{\frac{1}{\sqrt{N}} e^{j \frac{2 \pi}{N} k n}\right\}\) утворюють ортонормальну основу для\(\mathbb{C}^n\)
Періодичне розширення до DTFS
Тепер, коли ми маємо розуміння дискретно-часових рядів Фур'є (DTFS), ми можемо розглянути періодичне продовження\(c[k]\) (коефіцієнти Фур'є дискретного часу). \(\PageIndex{7}\)На малюнку показано просту ілюстрацію того, як ми можемо представляти послідовність як періодичний сигнал, відображений через нескінченну кількість інтервалів.
(а)
(б)
Вправа\(\PageIndex{1}\)
Чому періодичне (розділ 6.1) розширення коефіцієнтів ДТФС має\(c[k]\) сенс?
- Відповідь
-
Згладжування:\(b_k = e^{j\frac{2\pi}{N} kn}\)
\ [\ почати {вирівняти}
b_ {k+n} &=e^ {j\ frac {2\ пі} {N} (K+n) n}\ номер\\
&= e^ {j\ frac {2\ pi} {N} k n} e^ {j 2\ pi n}\ номер\\
&=e^ {j\ frac {2\ pi} N} n}\ nonumber\\
&=b_ {k}
\ end {вирівнювання}\ nonumber\]
Приклади
Приклад\(\PageIndex{1}\): Discrete Time Square Wave
Малюнок\(\PageIndex{8}\)
DTFS\(c[k]\) за допомогою:
\[c[k]=\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} f[n] e^{-\left(j \frac{2 \kappa}{N} k n\right)} \nonumber \]
Так само, як безперервний час рядів Фур'є, ми можемо взяти підсумовування протягом будь-якого інтервалу, тому ми маємо
\[c_{k}=\frac{1}{N} \sum_{n=-N_{1}}^{N_{1}} e^{-\left(j \frac{2 \pi}{N} k n\right)} \nonumber \]
Нехай\(m=n+N_1\) (так що ми можемо отримати геометричний ряд, починаючи з 0)
\[\sum_{n=0}^{M} a^{n}=\frac{1-a^{M+1}}{1-a} \nonumber \]
\ [\ почати {вирівняти}
c_ {k} &=\ розриву {1} {N} e^ {j\ frac {2\ pi} {N} N_ {1} k}\ sum_ {m=0} ^ {2 N_ {1}}\ ліворуч (e^ {-\ ліворуч (j\ frac {2 r} {N} k\ праворуч)}\ праворуч) ^ {m}\ номер\\
&=\ розриву {1} {N} e^ {j\ frac {2\ pi} {N} N_ {1} k}\ frac {\ left.1-e^ {-\ ліворуч (j\ frac {2\ pi} {N}\ ліво (2 N_ {1} +1\ праворуч)\ праворуч.} \ праворуч)} {1-e^ {-\ ліворуч (j k\ frac {2\ pi} {N}\ праворуч)}}
\ кінець {вирівнювання}\ nonumber\]
Тепер, використовуючи «формулу часткового підсумовування»
\[\sum_{n=0}^{M} a^{n}=\frac{1-a^{M+1}}{1-a} \nonumber \]
\ [\ почати {вирівняти}
c_ {k} &=\ розриву {1} {N} e^ {j\ frac {2\ pi} {N} N_ {1} k}\ sum_ {m=0} ^ {2 N_ {1}}\ ліворуч (e^ {-\ ліворуч (j\ frac {2\ pi} {N} k\ праворуч)}\ праворуч ^ {m}\ nonumber\\
&=\ розриву {1} {N} e^ {j\ frac {2\ pi} {N} N_ {1} k}\ frac {\ left.1-e^ {-\ ліво (j\ frac {2\ pi} {N}\ ліво (2 N_ {1} +1\ праворуч)\ праворуч.} \ праворуч)} {1-e^ {-\ ліворуч (j k\ frac {2\ pi} {N}\ праворуч)}}
\ кінець {вирівнювання}\ nonumber\]
Маніпулюйте, щоб це виглядало як функція sinc (distribute):
\ [\ почати {вирівняти}
c_ {k} &=\ розриву {1} {N}\ розриву {e^ {-\ лівий (j k\ frac {2\ pi} {2 N}\ праворуч)}\ лівий (e^ {j k\ frac {2\ pi} {N}\ лівий (N_ {1} +\ frac {1} {2}\ правий}) -e^ {-\ ліворуч (j k\ frac {2\ pi} {N}\ ліворуч (N_ {1} +\ frac {1} {2}\ праворуч)\ праворуч)} {e^ {-\ ліворуч (j k\ frac {2\ pi} {2 N}\ праворуч)}\ ліворуч (e^ {j k\ frac {2\ pi} {N}\ праворуч)}\ ліворуч (e^ {j k\ frac {2\ pi} {N}\ гідророзриву {1} {2 }} -e^ {-\ ліворуч (j k\ frac {2\ pi} {N}\ frac {1} {2}\ праворуч)}\ nonumber\\ nonumber\
&=\ frac {1} {N}\ frac {\ sin\ ліворуч (\ frac {2\ pi k\ ліворуч (N_ {1} +\ frac {1} {2}\ frac {2}\ правий (N_ {1})} {N}\ праворуч)} {\ sin\ left (\ frac {\ pi k} {N}\ праворуч)}\ nonumber\
&=\ текст {цифровий sinc}
\ end {вирівнювання}\ nonumber\]
Примітка
Це періодично! Малюнок\(\PageIndex{9}\)\(\PageIndex{10}\), Рисунок, і Малюнок,\(\PageIndex{11}\) як наші вище функції і коефіцієнти для різних значень\(N_1\).
(а)
(б)
(а)
(б)
(а)
(б)Висновок ДТФС
Використовуючи кроки, наведені вище в деривації та наше попереднє розуміння гільбертових просторів (розділ 15.4) та ортогональних розширень (розділ 15.9), решта деривації є автоматичною. З огляду на дискретно-часовий, періодичний сигнал (вектор в\(\mathbb{C}^n\))\(f[n]\), ми можемо записати:
\[f[n]=\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{k=0}^{N-1} c_{k} e^{j \frac{2 \pi}{w} k n} \nonumber \]
\[c_{k}=\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{n=0}^{N-1} f[n] e^{-(j \frac{2\pi}{N}k n)} \nonumber \]
Примітка: Більшість людей збирають обидва\(\frac{1}{\sqrt{N}}\) терміни у вираз для\(c_k\).
Дискретні часові ряди Фур'є
Ось поширена форма ДТФС з урахуванням наведеної вище примітки:
\[f[n]=\sum_{k=0}^{N-1} c_{k} e^{j \frac{2 \pi}{N} k n} \nonumber \]
\[c_{k}=\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} f[n] e^{-\left(j \frac{2 \pi}{N} k n\right)} \nonumber \]
Це те, що робить\(\texttt{fft}\) команда в MATLAB.