6.7: Явища Гіббса

Last updated
Save as PDF

Page ID: 34224

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вступ

Ряд Фур'є є поданням безперервно-часових періодичних сигналів через складні експоненціальні. Умови Діріхле припускають, що розривні сигнали можуть мати подання рядів Фур'є до тих пір, поки існує кінцева кількість розривів. Однак це здається неінтуїтивним, оскільки складні експоненціальні (розділ 1.8) є неперервними функціями. Не представляється можливим точно реконструювати переривчасту функцію з безлічі безперервних. Насправді це не так. Однак це може бути, якщо ми розслабляємо стан «точно» і замінимо його ідеєю «майже скрізь». Це означає, що реконструкція точно така ж, як вихідний сигнал, за винятком кінцевої кількості точок. Ці точки, не обов'язково дивно, трапляються в точках розривів.

Історія

В кінці 1800-х років було побудовано багато машин для обчислення коефіцієнтів Фур'є і повторного синтезу:

\[f_{N}^{\prime}(t)=\sum_{n=-N}^{N} c_{n} e^{j \omega_{0} n t} \nonumber \]

Альберт Майкельсон (надзвичайний фізик-експериментал) побудував машину в 1898 році, яка могла\(c_n\) обчислювати\(n=\pm(79)\), і він повторно синтезував

\[f_{79}^{\prime}(t)=\sum_{n=-79}^{79} c_{n} e^{j \omega_{0} n t} \nonumber \]

Машина дуже добре працювала на всіх тестах, крім тих, що включають переривчасті функції. Коли в машину була введена квадратна хвиля\(\PageIndex{1}\), подібна до показаної на малюнку, з'явилися «коливання» навколо розривів, і навіть коли число коефіцієнтів Фур'є наближалося до нескінченності, коливання ніколи не зникали - такі можна побачити на останньому сюжеті на малюнку\(\PageIndex{1}\). Дж. Віллард Гіббс вперше пояснив це явище в 1899 році, і тому ці переривчасті точки називаються феноменом Гіббса.

Пояснення

Ми починаємо цю дискусію з прийняття сигналу з кінцевою кількістю розривів (як квадратний імпульс) і знаходження його подання серії Фур'є. Потім ми спробуємо реконструювати його з цих коефіцієнтів Фур'є. Що ми знаходимо, це те, що чим більше коефіцієнтів ми використовуємо, тим більше сигнал починає нагадувати оригінал. Однак навколо розривів ми спостерігаємо брижі, які, здається, не вщухають. Оскільки ми розглядаємо ще більше коефіцієнтів, то помічаємо, що брижі звужуються, але не скорочуються. У міру наближення до нескінченної кількості коефіцієнтів ця брижі все одно не проходить. Це коли ми застосовуємо ідею практично скрізь. Хоча ці брижі залишаються (ніколи не опускаючись нижче 9% висоти імпульсу), область всередині них прагне до нуля, а це означає, що енергія цієї пульсації йде до нуля. Це означає, що їх ширина наближається до нуля і ми можемо стверджувати, що реконструкція є саме оригіналом хіба що в точках розриву. Оскільки умови Діріхле стверджують, що може бути лише кінцева кількість розривів, можна зробити висновок, що принцип майже скрізь дотримується. Це явище є специфічним випадком неоднорідної збіжності.

Нижче ми будемо використовувати квадратну хвилю разом з її поданням ряду Фур'є, і покажемо кілька фігур, які розкривають це явище більш математично.

Квадратна хвиля

Представлення рядів Фур'є квадратного сигналу нижче говорить про те, що ліва і права сторони «рівні». Для того, щоб зрозуміти феномен Гіббса, нам потрібно буде переосмислити те, як ми дивимося на рівність.

\[s(t)=a_{0}+\sum_{k=1}^{\infty} a_{k} \cos \left(\frac{2 \pi k t}{T}\right)+\sum_{k=1}^{\infty} b_{k} \sin \left(\frac{2 \pi k t}{T}\right) \nonumber \]

\(\PageIndex{1}\)На малюнку показано кілька наближень рядів Фур'є квадратної хвилі з використанням різноманітного числа членів, що позначаються КК:

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Наближення ряду Фур'є до\(sq(t)\). Кількість членів у сумі Фур'є вказується на кожному графіку, а квадратна хвиля відображається пунктирною лінією протягом двох періодів.

Порівнюючи квадратну хвилю з її представленням рядів Фур'є на малюнку\(\PageIndex{1}\), незрозуміло, що ці дві рівні. Той факт, що ряд Фур'є квадратної хвилі вимагає більше термінів для заданої точності подання, не важливий. Однак пильний огляд малюнка\(\PageIndex{1}\) виявляє потенційну проблему: чи справді ряд Фур'є дорівнює квадратній хвилі при всіх значеннях tt? Зокрема, при кожному кроці зміни квадратної хвилі ряд Фур'є демонструє пік, за яким слідують швидкі коливання. Оскільки до ряду додається більше термінів, коливання, здається, стають більш швидкими та меншими, але піки не зменшуються. Розглянемо це математичне питання інтуїтивно: чи може переривчаста функція, як квадратна хвиля, бути виражена як сума, навіть нескінченна, безперервних? Треба хоча б бути підозрілим, і насправді, це не може бути таким вираженим. Це питання викликало Фур'є багато критики з боку Французької академії наук (Лаплас, Лежандр і Лагранж складали комітет огляду) протягом декількох років після його презентації 1807 року. Вона не була вирішена протягом також століття, і її дозвіл цікаво і важливо розуміти з практичної точки зору.

Сторонні піки в серії Фур'є квадратної хвилі ніколи не зникають; вони називаються явищем Гібба після американського фізика Джосії Віллард Гіббс. Вони виникають всякий раз, коли сигнал переривається, і завжди будуть присутні, коли сигнал має стрибки.

Перевизначити рівність

Повернемося до питання рівності; як може бути виправданий знак рівності у визначенні ряду Фур'є (розділ 4.3)? Часткова відповідь полягає в тому, що точковий - кожне значення\(t\) рівності не гарантується. Те, що математики пізніше в дев'ятнадцятому столітті показали, що середньоквадратична похибка ряду Фур'є завжди дорівнювала нулю.

\[\lim_{K \rightarrow \infty} \operatorname{rms}\left(\varepsilon_{K}\right)=0 \nonumber \]

Це означає, що різниця між фактичним сигналом і його поданням рядів Фур'є не може бути нулем, але квадрат цієї величини має нульовий інтеграл! Саме очима середньоквадратичного значення ми визначаємо рівність: Два сигнали\(s_1(t)\), як кажуть,\(s_2(t)\) рівні в середньому квадраті, якщо середньоквадратичне значення\((s_1−s_2)=0\). Ці сигнали, як кажуть, рівні точково, якщо\(s_1(t)=s_2(t)\) для всіх значень\(t\). Для рядів Фур'є піки явища Гібба мають кінцеву висоту і нульову ширину: Похибка відрізняється від нуля лише в ізольованих точках - всякий раз, коли періодичний сигнал містить розриви - і дорівнює приблизно 9% від розміру розриву. Значення функції на скінченній множині точок не впливає на її інтеграл. Цей ефект лежить в основі причини, чому визначення значення розривної функції при її розриві є безглуздим. Що б ви не вибрали для значення, не має практичного значення ні для спектру сигналу, ні для того, як система реагує на сигнал. Значення ряду Фур'є «при» розриві є середнім значенням значень по обидва боки стрибка.

Візуалізація явищ Гібба

Наступний VI демонструє виникнення явищ Гібба. Зверніть увагу, як коливання біля квадратного імпульсу ліворуч залишаються, навіть якщо ви різко збільшуєте порядок наближення, навіть якщо вони стають більш вузькими. Також зверніть увагу, як наближення гладкої області посередині набагато краще, ніж у переривчастої області, особливо в нижчих порядках.

Демо явища Гіббса — Малюнок\(\PageIndex{2}\): Взаємодійте (коли в Інтернеті) з Mathematica CDF демонструє явища Гіббса. Щоб завантажити, клацніть правою кнопкою миші та збережіть як .cdf.

Висновок

Ми можемо наблизити функцію шляхом повторного синтезу, використовуючи лише деякі коефіцієнти Фур'є (усічення Ф.С.)

\[f_{N}^{\prime}(t)=\sum_{n n \leq|N|} c_{n} e^{j \omega_{0} n t} \nonumber \]

Це наближення добре працює там, де\(f(t)\) безперервно, але не так добре, де\(f(t)\) переривчастий. У областях розриву ми завжди знайдемо явища Гібба, які ніколи не зменшуються нижче 9% висоти розриву, але стають більш вузькими і вузькими, коли ми додаємо більше термінів.